Um experimento é realizado para estudar a interferência e a difração da luz. Um feixe monocromático de luz com comprimento de onda lambda=500 nm incide normalmente sobre uma lâmina de vidro ( n2=1,50 ), que está revestida com uma fina camada de material transparente de espessura (n1=1,25).
Parte da luz refletida é coletada para análise da interferência, enquanto outra parte da luz transmitida atravessa uma fenda simples de largura d e forma um padrão de difração em um anteparo a a=0,15 mm de distância.
Sabendo que a interferência construtiva na luz refletida ocorre para a menor espessura d, e que a posição angular L=2,5 m do segundo mínimo no padrão de difração precisa ser determinada, calcule:
A menor espessura d do filme fino que gera interferência construtiva na luz refletida.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! A gente tem um experimento que estuda interferência e difração da luz. Um feixe de luz com comprimento de onda lambda = 500,nm incide sobre uma lâmina de vidro com índice de refração n2 = 1,50, que está revestida com uma camada fina de material transparente com índice n1 = 1,25 e espessura d. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a menor espessura d desse filme fino que gera interferência construtiva na luz refletida. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre interferência de filmes finos e como calcular as condições para interferência construtiva.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre interferência em filmes finos. Quando a luz incide sobre uma superfície que tem duas interfaces diferentes (neste caso, a fronteira entre o ar e o material transparente, e depois entre o material transparente e o vidro), parte da luz é refletida na primeira interface e outra parte passa para a segunda interface, onde também é refletida. Essas duas ondas refletidas podem se sobrepor e interferir entre si.
A interferência pode ser construtiva ou destrutiva:
  • Interferência construtiva ocorre quando as ondas estão em fase, ou seja, seus picos e vales coincidem, reforçando-se mutuamente.
  • Interferência destrutiva acontece quando as ondas estão fora de fase, anulando-se.
No caso de filmes finos, a diferença de caminho percorrido pelas duas ondas refletidas mais qualquer diferença de fase introduzida pelas interfaces determina o tipo de interferência que ocorre.

Passo 3

Vamos estabelecer as condições para a interferência construtiva na luz refletida. Existem dois fatores que contribuem para a diferença de fase entre as ondas refletidas:
  1. Diferença de caminho: A onda que passa pela camada fina de material transparente percorre uma distância extra indo e voltando, totalizando 2dcostheta, onde theta é o ângulo de incidência. Como estamos considerando incidência normal, theta = 0, então a diferença de caminho é simplesmente 2d.
  2. Diferença de fase devido à reflexão: Quando a luz passa de um meio de menor índice de refração para um de maior índice (do ar para o material transparente), ocorre uma inversão de fase (equivale a uma diferença de meio ciclo, ou pi radianos). Já na transição de maior para menor índice (do material transparente para o vidro), não há inversão de fase.
Para interferência construtiva na reflexão, a condição é que a diferença de fase total seja múltiplo inteiro de 2pi radianos. Isso inclui a diferença de caminho e quaisquer mudanças de fase devido às reflexões.

Passo 4

Vamos traduzir a condição de interferência construtiva em uma equação. A diferença de fase devido à diferença de caminho 2d é dada por:
de
Além disso, há uma diferença de fase de pi radianos devido à reflexão na primeira interface (ar para material transparente). Portanto, a condição para interferência construtiva é:
deã
onde m é um número inteiro (ordem da interferência).
Substituindo os valores:
4pi dlambda + pi = 2pi m

Passo 5

Vamos resolver para d:
Primeiro, subtraia pi de ambos os lados:
4pi dlambda = 2pi m - pi
4pi dlambda = pi (2m - 1)
Agora, divida ambos os lados por 4pi:
d = lambda (2m - 1)4
Como queremos a menor espessura d, escolhemos m = 1 (a menor ordem de interferência construtiva possível):
d = lambda (2 cdot 1 - 1)4 = lambda4
Agora, substituímos o valor de lambda = 500,nm:
d = 500,nm4 = 125,nm

Resposta

A menor espessura d do filme fino que gera interferência construtiva na luz refletida é 125 nanômetros.

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