Um pequeno botão sobre uma plataforma rotativa horizontal com diâmetro de 0,520 m gira com a plataforma a 40,0 rpm, desde que o botão não esteja a uma distância maior que 0,220 m do eixo. (a) Qual é o coeficiente de atrito estático entre o botão e a plataforma? (b) Qual é a distância máxima ao eixo da plataforma que o botão pode ser colocado sem que ele deslize, se a plataforma gira a 60,0 rpm?

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um botão em cima de uma plataforma girando, e não pode deslizar se ele estiver a até 0,220 m do eixo quando a plataforma gira a 40,0 rpm. A matéria envolvida é atrito estático e força centrípeta. Para resolver, vamos precisar:
  • Converter rotações por minuto (rpm) em rad/s;
  • Calcular a aceleração centrípeta ac = omega^2 r;
  • Ligar isso à força de atrito máxima Fat = mus m g.

Passo 2

Primeiro converte a rotação de 40,0 rpm em velocidade angular omega1 em rad/s:
$$\omega_1 = 40{,}0;\frac{rev}{\min}\times\frac{2\pi;rad}{1;rev}\times\frac{1;min}{60;s}
=\frac{40\cdot2\pi}{60}\approx \frac{80\pi}{60}=\frac{4\pi}{3};rad/s.$$

Passo 3

Agora a aceleração centrípeta que o botão “pede” para não voar embora é
$$a_c = \omega_1^2,r = \Bigl(\frac{4\pi}{3}\Bigr)^2 \times 0,220;m
= \frac{16\pi2}{9}\cdot0,220\approx3,86;\text{m/s}2.$$

Passo 4

Na borda, a força de atrito estático máxima é a única que segura o botão, ou seja
Fat,max = mus,m,g
e ela precisa ser igual à força centrípeta m,ac. Cancelando a massa m, dá
$$\mu_s,g = a_c
\quad\Longrightarrow\quad
\mu_s = \frac{a_c}{g} = \frac{3,86}{9,80}\approx0,394.$$

Passo 5

Pronto, essa é a parte (a): musapprox0,394.
Agora, para (b), a plataforma gira a 60,0 rpm. Vamos achar a nova omega2:
$$\omega_2 = 60{,}0;\frac{rev}{\min}\times\frac{2\pi}{60}
=2\pi;rad/s.$$

Passo 6

Queremos a maior distância rmax em que Fat,max = m,omega2^2,rmax ainda dá conta, isto é
$$\mu_s,m,g = m,\omega_2^2,r_{\max}
;\Longrightarrow;r_{\max} = \frac{\mu_s,g}{\omega_2^2}.$$

Passo 7

Substituindo valores:
$$r_{\max} = \frac{0,394\cdot9,80}{(2\pi)^2}
\approx\frac{3,86}{39,48}\approx0,098;m.$$

Resposta

(a) musapprox0,394
(b) rmaxapprox0,098;m

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