Em um experimento, uma resistência elétrica de 12 \Omega é ligada a uma fonte de 20 V por 25 minutos, aquecendo 295 mL de água. A temperatura da água aumenta linearmente de 20^{\circ} \mathrm{C} para 60^{\circ} \mathrm{C}.
a) Calcule o equivalente mecânico de calor J, sabendo que:
J=\frac{V \cdot I \cdot t}{Q}, \text { onde } Q=m \cdot c \cdot \Delta T
b) Qual a temperatura final se a tensão utilizada for para uma tensão de 15 V , com o mesmo tempo, a mesma massa de água e a mesma temperatura inicial?
c) Construa um gráfico de T \times t para os dois casos e calcule a taxa de aquecimento q_{H} para cada um.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Resistência elétrica: 12\\ \Omega.
    • Tensão (caso a): 20\\ \mathrm{V}.
    • Tempo de aquecimento: 25\\ \text{min}.
    • Volume de água aquecida: 295\\ \mathrm{mL}.
    • Temperatura inicial da água: 20^{\circ}\mathrm{C}.
    • Temperatura final (caso a): 60^{\circ}\mathrm{C}.
    • O aquecimento da água é linear no tempo (isso significa que T cresce com inclinação constante).
  • Observações que vou usar (assunções físicas padrão):
    • 295\\ \mathrm{mL} de água tem massa m=295\\ \mathrm{g} (tomando densidade da água \approx1\\ \mathrm{g/mL}).
    • Para trabalhar com calorias vou usar o calor específico da água em unidades de calorias: c=1{,}0\\ \dfrac{\text{cal}}{\text{g}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}} (valor usual quando se quer o equivalente mecânico J em \mathrm{J}/\text{cal}).
    • Tempo deve ser transformado em segundos quando trabalhar com energia elétrica em joules: 25\\ \text{min}=25\cdot60=1500\\ \text{s}.
  • O enunciado pede:
    (a) Calcular o equivalente mecânico de calor J usando a fórmula J=\frac{V\cdot I\cdot t}{Q},\qquad Q=m\cdot c\cdot\Delta T.(b) Com tensão 15\\ \mathrm{V} (mesmo tempo, mesma massa e mesma T_0), calcular a temperatura final.
    (c) Construir o gráfico T\times t para os dois casos e calcular a taxa de aquecimento q_{H} para cada caso (ou seja, a inclinação das retas).

Passo 2

Entender as fórmulas e unidades (aulas rápidas):
  • Corrente elétrica em um resistor: I=\dfrac{V}{R}. Aqui V é tensão em volts, R resistência em ohms e I corrente em ampères.
  • Energia elétrica entregue em tempo t: E_{\text{el}}=V\cdot I\cdot t em joules quando V está em volts, I em ampères e t em segundos. Outra forma equivalente é E_{\text{el}}=P\cdot t com P=V^2/R.
  • Calor absorvido pela água (na unidade de calorias): Q=m\cdot c\cdot\Delta T, com m em gramas, c em \text{cal}/(\text{g}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}) e \Delta T em {}^{\circ}\mathrm{C}. Assim Q fica em calorias.
  • O equivalente mecânico J é a relação entre energia elétrica em joules fornecida e calor em calorias recebido: J=\dfrac{E_{\text{el}}\\ (\mathrm{J})}{Q\\ (\text{cal})}, então J tem unidade \mathrm{J}/\text{cal}.

Passo 3

Calcular a corrente e a energia elétrica fornecida no caso (a).
  • Corrente:
I=\frac{V}{R}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}\\ \mathrm{A}\approx 1{,}666\ldots\\ \mathrm{A}.
  • Tempo em segundos:
t=25\\ \text{min}=25\cdot 60=1500\\ \text{s}.
  • Energia elétrica fornecida (em joules):
E_{\text{el}}=V\cdot I\cdot t =20\cdot\frac{5}{3}\cdot 1500.
Calcule passo a passo:
\frac{5}{3}\cdot 1500 = 5\cdot 500 = 2500,
E_{\text{el}} = 20\cdot 2500 = 50000\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular o calor absorvido Q pela água (em calorias), explicando cada variável.
  • Massa: m=295\\ \mathrm{g} (peguei isso do volume dado).
  • Calor específico (na unidade cal/g°C): c=1{,}0\\ \dfrac{\text{cal}}{\text{g}\cdot{}^{\circ}\mathrm{C}} (valor padrão).
  • Variação de temperatura:
\Delta T = T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}} = 60-20 = 40\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • Então
Q = m\cdot c\cdot \Delta T = 295\cdot 1{,}0\cdot 40 = 295\cdot 40 = 11800\\ \text{cal}.

Passo 5

Calcular o equivalente mecânico J usando a fórmula dada, mostrando a substituição e o resultado.
J=\frac{V\cdot I\cdot t}{Q}=\frac{E_{\text{el}}\\ (\mathrm{J})}{Q\\ (\text{cal})}=\frac{50000}{11800}.
Agora a divisão:
\frac{50000}{11800}\approx 4{,}237288136\\ \mathrm{J}/\text{cal}.
Arredondando de forma conveniente para 3 algarismos relevantes:
J\approx 4{,}24\\ \mathrm{J}/\text{cal}.
Observação didática curta: esse valor está próximo do valor clássico 4{,}186\\ \mathrm{J}/\text{cal}, o que indica coerência do experimento.

Passo 6

Resolver a parte (b) — determinar a temperatura final com V=15\\ \mathrm{V}, mesmo tempo e mesma massa.
Método 1 (proporcionalidade direta entre energia e \Delta T):
  • A energia elétrica fornecida em cada caso é proporcional a V^2 (porque E_{\text{el}}=V^2/R\cdot t e R,t são constantes). Assim a variação de temperatura será proporcional à energia elétrica.
  • Logo
\Delta T_2 = \frac{E_2}{E_1}\,\Delta T_1 = \frac{V_2^2}{V_1^2}\,\Delta T_1.
Substituindo:
\Delta T_2 = \frac{15^2}{20^2}\cdot 40 = \frac{225}{400}\cdot 40 = \frac{9}{16}\cdot 40 = 22{,}5\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura final:
T_{\text{final},2}=T_0+\Delta T_2 = 20+22{,}5 = 42{,}5\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Método 2 (checar com J calculado):
  • Energia fornecida no caso 2:
E_2 = \frac{15^2}{12}\cdot 1500 = \frac{225}{12}\cdot 1500 = 18{,}75\cdot 1500 = 28125\\ \mathrm{J}.
  • Calorias correspondentes (usando J obtido):
Q_2 = \frac{E_2}{J}=\frac{28125}{4{,}237288\ldots}\approx 6640{,}5\\ \text{cal}.
  • Variação de temperatura:
\Delta T_2 = \frac{Q_2}{m\cdot c}=\frac{6640{,}5}{295\cdot 1{,}0}\approx 22{,}5\\ ^{\circ}\mathrm{C},
confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Construir o gráfico T\times t e calcular as taxas de aquecimento q_H (parte c). Explico como montar o gráfico e calculo as inclinações.
  • Como o aquecimento é linear, cada caso será uma reta do tipo
T(t)=T_0+q_H\cdot t,
onde t pode ser em minutos (mais prático) e q_H terá unidade {}^{\circ}\mathrm{C}/\text{min}.
  • Usando o caso 1 (V=20 V):
    • \Delta T_1=40\\ ^{\circ}\mathrm{C} em \Delta t=25\\ \text{min}.
    • Taxa (inclinação):
    q_{H1}=\frac{\Delta T_1}{\Delta t}=\frac{40}{25}=1{,}6\\ ^{\circ}\mathrm{C}/\text{min}.
    • Equação da reta (com t em minutos):
    T_1(t)=20 + 1{,}6\,t,\qquad 0\le t\le 25.
  • Usando o caso 2 (V=15 V):
    • \Delta T_2=22{,}5\\ ^{\circ}\mathrm{C} em \Delta t=25\\ \text{min}.
    • Taxa:
    q_{H2}=\frac{\Delta T_2}{\Delta t}=\frac{22{,}5}{25}=0{,}9\\ ^{\circ}\mathrm{C}/\text{min}.
    • Equação da reta:
    T_2(t)=20 + 0{,}9\,t,\qquad 0\le t\le 25.
  • Como desenhar o gráfico:
    • No eixo horizontal coloque t de 0 a 25 (minutos).
    • No eixo vertical coloque T de 20\\ ^{\circ}\mathrm{C} até pelo menos 60\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
    • Desenhe a primeira reta passando por (0,20) e (25,60) (pendente 1{,}6).
    • Desenhe a segunda reta passando por (0,20) e (25,42{,}5) (pendente 0{,}9).
    • As retas partem do mesmo ponto inicial (0,20) e a reta do caso 1 é mais inclinada (mais aquecimento por minuto).

Resposta

(a) J\approx 4{,}24\\ \mathrm{J}/\text{cal}
(b) T_{\text{final}}=42{,}5\\ ^{\circ}\mathrm{C}
(c) T_1(t)=20+1{,}6\,t (°C, t em min), q_{H1}=1{,}6\\ ^{\circ}\mathrm{C}/\text{min}; \;T_2(t)=20+0{,}9\,t (°C, t em min), q_{H2}=0{,}9\\ ^{\circ}\mathrm{C}/\text{min}

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