Um pêndulo físico é composto por uma barra homogênea de comprimento \mathrm{L}=100 \mathrm{~cm} e massa \mathrm{m}=600 \mathrm{~g} suspensa por uma de suas extremidades.
a) Calcule o momento de inércia em relação a esse ponto.
b) Usando a fórmula do pêndulo físico:
T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{m g h}}
onde h é a distância do centro de massa do pêndulo ao ponto de suspensão, calcule o período de oscilação para h=45 \mathrm{~cm} (lembre-se que I é o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão h, dependendo, portanto, deste).
c) Para a mesma barra, suspensa por um ponto a 20 cm de uma extremidade, mediu-se um periodo de 1,575 \mathrm{~s}. Calcule o momento de inércia experimental.
d) Construa um gráfico de T \times h (distância do ponto de suspensão ao centro de massa) e identifique o periodo mínimo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (já convertidos para unidades do SI quando necessário):
O pêndulo físico é uma barra homogênea de comprimento L=100\\ \mathrm{cm}=1{,}00\\ \mathrm{m} e massa m=600\\ \mathrm{g}=0{,}600\\ \mathrm{kg}.
Parte (a): calcular o momento de inércia da barra em relação a um ponto de suspensão situado em uma das extremidades.
Parte (b): usando a fórmula do pêndulo físicoT = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m g h}},onde h é a distância do centro de massa ao ponto de suspensão e I é o momento de inércia em relação a esse ponto de suspensão, calcular o período para h=45\\ \mathrm{cm}=0{,}45\\ \mathrm{m}. Use g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Parte (c): a mesma barra, suspensa por um ponto a 20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m} de uma extremidade, teve período medido T_{\text{exp}}=1{,}575\\ \mathrm{s}. Calcular o momento de inércia experimental correspondente a esse ponto de suspensão.
Parte (d): construir (mentalmente/analiticamente) o gráfico T\times h e identificar o período mínimo.
Informações relevantes que vou usar:
Momento de inércia da barra homogênea em torno de seu centro (eixo perpendicular ao comprimento, passando pelo centro de massa):I_{\text{cm}}=\frac{1}{12}mL^2.
Teorema dos eixos paralelos (Steiner): se um eixo paralelo passa a uma distância h do centro de massa, entãoI(h)=I_{\text{cm}}+m h^2.
Fórmula do período do pêndulo físico (exposta acima):T(h)=2\pi\sqrt{\frac{I(h)}{m g h}}.
Passo 2
Converter e fixar constantes e expressar fórmulas úteis:
Converter comprimentos: L=1{,}00\\ \mathrm{m}.
Massa: m=0{,}600\\ \mathrm{kg}.
A distância do centro de massa à extremidade é L/2=0{,}50\\ \mathrm{m}.
Momento de inércia central:I_{\text{cm}}=\frac{1}{12}mL^2=\frac{1}{12}\cdot 0{,}600\cdot (1{,}00)^2.Vou calcular esse valor numérico no passo apropriado.
Momento de inércia relativo a um eixo a uma distância h do centro:I(h)=\frac{1}{12}mL^2 + m h^2.
Período:T(h)=2\pi\sqrt{\frac{I(h)}{m g h}}.
Passo 3
Calcular o momento de inércia em relação à extremidade (suspensão por uma extremidade). Nesse caso o eixo de suspensão está a uma distância h_{\text{ext}}=L/2 do centro de massa.
Primeiro calcule I_{\text{cm}}:I_{\text{cm}}=\frac{1}{12}mL^2=\frac{1}{12}\cdot 0{,}600\cdot 1{,}00^2=\frac{0{,}600}{12}=0{,}050\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Aplicando o teorema dos eixos paralelos com h=L/2=0{,}50\\ \mathrm{m}:I_{\text{ext}}=I_{\text{cm}}+m\left(\frac{L}{2}\right)^2 =0{,}050 + 0{,}600\cdot(0{,}50)^2.Calcule 0{,}600\cdot(0{,}50)^2=0{,}600\cdot 0{,}25=0{,}150.
EntãoI_{\text{ext}}=0{,}050+0{,}150=0{,}200\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Observação física (interpretativa): esse resultado coincide com a fórmula conhecida para uma barra homogênea girando em torno de uma extremidade:I_{\text{ext}}=\frac{1}{3}mL^2=\frac{1}{3}\cdot 0{,}600 \cdot 1{,}00^2=0{,}200\\ \mathrm{kg\cdot m^2},confirmando a consistência dos cálculos.
Passo 4
Vamos obter uma forma útil da expressão do período em que a massa m se cancela, o que facilita cálculos sem depender de m explicitamente:
Substituindo I(h)=\dfrac{1}{12}mL^2 + m h^2 em T(h):T(h)=2\pi \sqrt{\frac{\dfrac{1}{12}mL^2 + m h^2}{m g h}} =2\pi \sqrt{\frac{\dfrac{1}{12}L^2 + h^2}{g h}}.Repare que o m cancelou. É uma simplificação útil: para uma barra homogênea, T depende de L, g e h, mas não de m.
Passo 5
Substituir L=1{,}00\\ \mathrm{m}, h=0{,}45\\ \mathrm{m} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} na fórmula simplificada.
Calcular os termos:\frac{1}{12}L^2=\frac{1}{12}\cdot 1{,}00^2=0{,}083333333\ldots
Primeiro determinar h para o ponto de suspensão que é 20\\ \mathrm{cm} de uma extremidade.
Distância do centro de massa a essa extremidade é L/2=0{,}50\\ \mathrm{m}. Se o ponto de suspensão está a 0{,}20\\ \mathrm{m} da extremidade, então a distância h do centro de massa ao ponto de suspensão é:h = \frac{L}{2} - 0{,}20 = 0{,}50 - 0{,}20 = 0{,}30\\ \mathrm{m}.
Agora usar a fórmula original isolando I:
T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{m g h}} \quad\Longrightarrow\quad I = m g h \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2.
Substituir m=0{,}600\\ \mathrm{kg}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, h=0{,}30\\ \mathrm{m} e T_{\text{exp}}=1{,}575\\ \mathrm{s}.
Calcular fator:\frac{T_{\text{exp}}}{2\pi}=\frac{1{,}575}{6{,}2831853}\approx 0{,}25068.Quadrado:\left(\frac{T_{\text{exp}}}{2\pi}\right)^2 \approx (0{,}25068)^2 \approx 0{,}06284.Produto m g h:m g h = 0{,}600\cdot 9{,}81 \cdot 0{,}30 = 0{,}600\cdot 2{,}943 = 1{,}7658\\ \mathrm{N\cdot m\cdot s^2?}\\ (\text{unidade } \mathrm{kg\cdot m^2/s^2}\\ \text{ou simplesmente } \mathrm{kg\cdot m^2/s^2})(a unidade resultante multiplicada pelo quadrado dá \mathrm{kg\cdot m^2}, coerente com momento de inércia).
Comparando: I_{\text{exp}}\approx 0{,}111 versus I_{\text{teo}}\approx 0{,}104. Estão próximos, a diferença pode vir de atritos, pequenas imprecisões geométricas, erro de medição do período, etc.
Para ajudar a visualizar o gráfico T\times h, segue uma pequena tabela (valores aproximados) que dá a forma da curva e mostra o mínimo próximo de h\approx 0{,}289\\ \mathrm{m}:
Para h=0{,}10\\ \mathrm{m}: T\approx 1{,}94\\ \mathrm{s}.
Para h=0{,}20\\ \mathrm{m}: T\approx 1{,}577\\ \mathrm{s}.
Para h=0{,}288675\\ \mathrm{m}: T\approx 1{,}525\\ \mathrm{s} (mínimo).
Para h=0{,}40\\ \mathrm{m}: T\approx 1{,}565\\ \mathrm{s}.
Para h=0{,}50\\ \mathrm{m}: T\approx 1{,}638\\ \mathrm{s}.
Instrução para desenhar o gráfico: em papel ou num software, plotar h no eixo horizontal (por exemplo de 0{,}05 a 0{,}60\\ \mathrm{m}) e T(h) no vertical usando a fórmula dada; a curva decresce inicialmente até h_{\min} e depois cresce suavemente. Marcar o ponto (h_{\min},T_{\min}).