No instante t, \vec{r}=4,0 t^{2} \hat{x}-\left(2,0 t^{3}\right) \hat{y} fornece a posição de uma partícula de 3,0 \mathrm{~kg} em relação à origem de um sistema de coordenadas x y ( \vec{r} está em metros e t em segundos).
(a) Escreva uma expressão para o torque em relação à origem que age sobre a partícula.
(b) O módulo do momento angular da partícula em relação à origem está aumentando, diminuindo ou permanece o mesmo?

Passo 1

O enunciado fornece (peguei estes números do enunciado):
  • A posição da partícula em função do tempo: \vec{r}(t)=4,0\,t^{2}\,\hat{x}-2,0\,t^{3}\,\hat{y} (metros).
  • A massa da partícula: m=3,0\\ \mathrm{kg}.
    As perguntas são:
    (a) Escrever uma expressão para o torque em relação à origem que age sobre a partícula.
    (b) Dizer se o módulo do momento angular da partícula em relação à origem está aumentando, diminuindo ou permanece o mesmo (e justificar).

Passo 2

Vou calcular a velocidade \vec{v}(t) derivando \vec{r}(t). Regra usada: \dfrac{d}{dt}\big(t^{n}\big)=n\,t^{n-1}.
\vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt} = \dfrac{d}{dt}\big(4,0\,t^{2}\big)\hat{x} - \dfrac{d}{dt}\big(2,0\,t^{3}\big)\hat{y} = 8,0\,t\,\hat{x} - 6,0\,t^{2}\,\hat{y}.
Unidade: metros por segundo.

Passo 3

Calculo a aceleração \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt} para, se necessário, obter forças:
\vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt} = 8,0\,\hat{x} - 12,0\,t\,\hat{y}.
Unidade: metros por segundo ao quadrado.

Passo 4

Momento linear \vec{p}(t)=m\,\vec{v}(t). Uso m=3,0\\ \mathrm{kg}:
\vec{p}(t)=3,0\big(8,0\,t\,\hat{x}-6,0\,t^{2}\,\hat{y}\big) =24,0\,t\,\hat{x}-18,0\,t^{2}\,\hat{y}.
Unidade: \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Momento angular em relação à origem: \vec{L}(t)=\vec{r}\times\vec{p}=m\,\big(\vec{r}\times\vec{v}\big).
Para vetores no plano xy, só aparece componente z:
L_{z}(t)=m\big(x\,v_{y}-y\,v_{x}\big).
Aqui x=4,0\,t^{2}, y=-2,0\,t^{3}, v_{x}=8,0\,t, v_{y}=-6,0\,t^{2}. Calculando:
x\,v_{y}=4,0\,t^{2}\cdot(-6,0\,t^{2})=-24,0\,t^{4},
y\,v_{x}=(-2,0\,t^{3})\cdot(8,0\,t)=-16,0\,t^{4},
x\,v_{y}-y\,v_{x}=-24,0\,t^{4}-(-16,0\,t^{4})=-8,0\,t^{4}.
Multiplicando por m=3,0:
L_{z}(t)=3,0\cdot(-8,0\,t^{4})=-24,0\,t^{4}.
Logo
\vec{L}(t)=-24,0\,t^{4}\,\hat{z}\quad(\mathrm{kg\cdot m^{2}/s}).

Passo 6

Torque em relação à origem é \vec{\tau}(t)=\dfrac{d\vec{L}}{dt}. Derivo \vec{L}(t):
\vec{\tau}(t)=\dfrac{d}{dt}\big(-24,0\,t^{4}\big)\hat{z}=-96,0\,t^{3}\,\hat{z}.
Unidade: \mathrm{N\cdot m} (ou \mathrm{kg\cdot m^{2}/s^{2}}).
Observação de verificação: pode-se também calcular \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F} com \vec{F}=m\vec{a}.
\vec{F}=3,0\big(8,0\,\hat{x}-12,0\,t\,\hat{y}\big)=24,0\,\hat{x}-36,0\,t\,\hat{y}.
Então
\tau_{z}=xF_{y}-yF_{x}=4,0\,t^{2}(-36,0\,t)-(-2,0\,t^{3})(24,0) =-144,0\,t^{3}+48,0\,t^{3}=-96,0\,t^{3},
compatível com \dfrac{d\vec{L}}{dt}.

Passo 7

Analisar o módulo de \vec{L}. Como \vec{L}(t)=-24,0\,t^{4}\,\hat{z}, o módulo é
|\vec{L}(t)|=24,0\,t^{4}.
Derivando o módulo em relação a t:
\dfrac{d}{dt}|\vec{L}|=96,0\,t^{3}.
Para t>0 esse derivado é positivo, logo o módulo de \vec{L} aumenta com o tempo (em t=0 o módulo é zero e a derivada é zero). Conclusão: o módulo está aumentando para tempos positivos.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{\tau}(t)=-96,0\,t^{3}\,\hat{z}\\ \mathrm{N\cdot m}\n
(b) O módulo do momento angular está aumentando (para t>0; em t=0 é zero).

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