Um experimento sobre o comprimento de difusão de uma certa partícula fornece a seguinte medida de: L=(65.77 \pm 0.06) \mathrm{cm}. Sabendo que 1 \mathrm{~m}=100 \mathrm{~cm}, que 1 polegada (símbolo “in”) vale 2.54 cm e que 1 pé (“ft”) vale 30.48 cm , converta essa medida (e sua incerteza!) para as unidades de m, in e ft, tendo o cuidado de arredondar seus resultados como manda o figurino.
L=(\square \pm \square) \mathrm{ft}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Medida dada: \,L=(65{,}77\pm0{,}06)\,\mathrm{cm}.
  • Fatores de conversão (dados):
    • \,1\,\mathrm{m}=100\,\mathrm{cm}.
    • \,1\,\mathrm{in}=2{,}54\,\mathrm{cm} (valor exato).
    • \,1\,\mathrm{ft}=30{,}48\,\mathrm{cm} (valor exato).
  • O que se pede: converter a medida e a incerteza para as três unidades \mathrm{m}, \mathrm{in} e \mathrm{ft}, e arredondar adequadamente (incerteza com algarismos significativos apropriados e valor principal na mesma ordem).

Passo 2

Regra geral para conversão de unidades e tratamento da incerteza (fórmula e explicação didática).
  • Se L é multiplicado por uma constante exata c (ou dividido por ela), o novo valor é
L' = c\,L,
e a incerteza absoluta também se transforma multiplicando pela mesma constante:
\Delta L' = |c|\,\Delta L.
Explicação em palavras: quando você converte unidades (por exemplo de cm para m), está apenas multiplicando por um número; qualquer erro absoluto também se multiplica pelo mesmo número. Não se usa raiz quadrada nem fórmulas complicadas aqui porque a operação é só multiplicação por constante.

Passo 3

Converter para metros passo a passo e calcular a incerteza transformada.
  • Fator: \,c_{\mathrm{m}}=\dfrac{1}{100}.
  • Valor convertido:
L_{\mathrm{m}} = \frac{65{,}77}{100}\,\mathrm{m} = 0{,}6577\,\mathrm{m}.
  • Incerteza convertida:
\Delta L_{\mathrm{m}} = \frac{0{,}06}{100}\,\mathrm{m} = 0{,}0006\,\mathrm{m}.
Agora a regra de arredondamento “como manda o figurino”: costuma-se apresentar a incerteza com um algarismo significativo (ou dois se o primeiro algarismo for 1 ou 2). Aqui \Delta L_{\mathrm{m}}=6{,}0\times10^{-4} tem primeiro dígito 6, então um algarismo significativo é suficiente, isto é \Delta L_{\mathrm{m}}=0{,}0006\,\mathrm{m}. Então o valor L_{\mathrm{m}} deve ser arredondado para a mesma ordem decimal (a última casa significativa da incerteza é a casa dos 10^{-4}), logo
L_{\mathrm{m}}=(0{,}6577\pm0{,}0006)\,\mathrm{m}.

Passo 4

Converter para polegadas ( \mathrm{in}) passo a passo e calcular a incerteza transformada.
  • Fator: \,c_{\mathrm{in}}=\dfrac{1}{2{,}54}.
  • Valor convertido (fazer a divisão):
L_{\mathrm{in}} = \frac{65{,}77}{2{,}54}\,\mathrm{in} = \frac{6577}{254}\,\mathrm{in} \approx 25{,}893700\ldots \,\mathrm{in}.
  • Incerteza convertida:
\Delta L_{\mathrm{in}} = \frac{0{,}06}{2{,}54}\,\mathrm{in} \approx 0{,}023622\ldots \,\mathrm{in}.
Regra de arredondamento: aqui a primeira casa significativa da incerteza é 2 (isto é, \Delta L_{\mathrm{in}}\approx2{,}36\times10^{-2}); quando a primeira cifra é 1 ou 2 é comum manter duas cifras significativas na incerteza. Assim usamos duas cifras significativas: 0{,}023622\ldots \to 0{,}024\,\mathrm{in}.
O valor principal deve ser arredondado para a mesma casa decimal (a última casa significativa de 0{,}024 está na milésima): 25{,}893700\ldots \to 25{,}894. Portanto
L_{\mathrm{in}}=(25{,}894\pm0{,}024)\,\mathrm{in}.

Passo 5

Converter para pés ( \mathrm{ft}) passo a passo e calcular a incerteza transformada.
  • Fator: \,c_{\mathrm{ft}}=\dfrac{1}{30{,}48}.
  • Valor convertido:
L_{\mathrm{ft}} = \frac{65{,}77}{30{,}48}\,\mathrm{ft} = \frac{6577}{3048}\,\mathrm{ft} \approx 2{,}1578084\ldots \,\mathrm{ft}.
  • Incerteza convertida:
\Delta L_{\mathrm{ft}} = \frac{0{,}06}{30{,}48}\,\mathrm{ft} = \frac{6}{3048}\,\mathrm{ft} \approx 0{,}0019685\ldots \,\mathrm{ft}.
Arredondamento: aqui a primeira cifra significativa da incerteza é 1, portanto recomenda-se manter duas cifras significativas. Em notação científica \Delta L_{\mathrm{ft}}\approx1{,}9685\times10^{-3}; com duas cifras significativas isso se torna 2{,}0\times10^{-3}=0{,}0020\,\mathrm{ft}. O valor principal deve ser arredondado para a mesma ordem decimal (o último algarismo significativo da incerteza é no dígito dos 10^{-4}), então arredondamos 2{,}1578084\ldots \to 2{,}1578. Assim
L_{\mathrm{ft}}=(2{,}1578\pm0{,}0020)\,\mathrm{ft}.

Passo 6

Resumo rápido do porquê dos arredondamentos:
  • Multiplicação/divisão por constante: incerteza absoluta multiplica pela mesma constante.
  • Escolha do número de algarismos significativos na incerteza:
    • geralmente 1 algarismo significativo;
    • se o primeiro algarismo for 1 ou 2, é comum usar 2 algarismos significativos (melhora a precisão aparente).
  • Depois de arredondar a incerteza, o valor principal deve ser arredondado de modo a ter a mesma última casa decimal significativa da incerteza.

Resposta

L=(0{,}6577\pm0{,}0006)\,\mathrm{m}
L=(25{,}894\pm0{,}024)\,\mathrm{in}
L=(2{,}1578\pm0{,}0020)\,\mathrm{ft}

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