Um experimento sobre o comprimento de difusão de uma certa partícula fornece a seguinte medida de: L=(65.77 \pm 0.06) \mathrm{cm}. Sabendo que 1 \mathrm{~m}=100 \mathrm{~cm}, que 1 polegada (símbolo “in”) vale 2.54 cm e que 1 pé (“ft”) vale 30.48 cm , converta essa medida (e sua incerteza!) para as unidades de m, in e ft, tendo o cuidado de arredondar seus resultados como manda o figurino.
L=(\square \pm \square) in

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números diretamente do enunciado):
  • Medida dada: L=(65,77\pm0,06)\\ \mathrm{cm}.
  • Conversões fornecidas:
    • 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}.
    • 1\\ \mathrm{in}=2,54\\ \mathrm{cm}.
    • 1\\ \mathrm{ft}=30,48\\ \mathrm{cm}.
  • O que se pede: converter L (e sua incerteza) para as unidades \mathrm{m}, \mathrm{in} e \mathrm{ft}, arredondando corretamente.

Passo 2

Regra de propagação de incerteza quando se multiplica ou divide por constante:
  • Se L tem incerteza \sigma_L e se define L' = k\,L com k constante (por exemplo, k=1/100 para cm→m ou k=1/2{,}54 para cm→in), então a incerteza transforma-se como
\sigma_{L'} = |k|\,\sigma_L.
Isto é simples: multiplicar a medida por uma constante multiplica também a incerteza pela mesma constante. Vamos aplicar isso em cada conversão.
Também vou usar a regra prática de arredondamento “como manda o figurino” para incertezas:
  • Em geral arredonda-se a incerteza para 1 algarismo significativo.
  • Se o primeiro algarismo da incerteza for 1 ou 2, costuma-se manter 2 algarismos significativos para evitar perda excessiva de informação.
    Depois de decidir a incerteza arredondada, a medida deve ser arredondada para a mesma casa decimal da incerteza.

Passo 3

Fator de conversão: 1\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}\Rightarrow k=\dfrac{1}{100}.
Calculando valor e incerteza sem arredondar ainda:
L_{\mathrm{m}} = \frac{65,77}{100}=0,6577\\ \mathrm{m}, \qquad \sigma_{\mathrm{m}}=\frac{0,06}{100}=0,0006\\ \mathrm{m}.
Agora o arredondamento: a incerteza \sigma_{\mathrm{m}}=0,0006 tem primeiro dígito 6, logo usamos 1 algarismo significativo: 0,0006 (já está em 1 alg. sig.). Arredondamos L_{\mathrm{m}} para a mesma casa decimal (0,0001) — ou seja, quatro casas decimais:
L_{\mathrm{m}}=(0,6577\pm0,0006)\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Fator de conversão: 1\\ \mathrm{in}=2,54\\ \mathrm{cm}\Rightarrow k=\dfrac{1}{2{,}54}.
Calculando valor e incerteza sem arredondar:
L_{\mathrm{in}}=\frac{65,77}{2{,}54}\approx 25,8937007874\\ \mathrm{in}, \qquad \sigma_{\mathrm{in}}=\frac{0,06}{2{,}54}\approx 0,0236220472\\ \mathrm{in}.
Arredondamento: \sigma_{\mathrm{in}}\approx0,02362. O primeiro algarismo é 2, portanto segue-se a convenção de manter 2 algarismos significativos para a incerteza: \sigma_{\mathrm{in}}=0,024\\ \mathrm{in}. Agora arredondamos o valor L_{\mathrm{in}} para a mesma casa decimal da incerteza (milesimal, três casas decimais):
L_{\mathrm{in}}=(25,894\pm0,024)\\ \mathrm{in}.
Nota rápida (para lembrar na prova): dividir por uma constante é o mesmo que multiplicar pela constante inversa; a incerteza escala igual.

Passo 5

Duas opções: converter diretamente de cm com k=\dfrac{1}{30{,}48} ou dividir o valor em polegadas por 12. Uso a relação exata 1\\ \mathrm{ft}=12\\ \mathrm{in}, assim
L_{\mathrm{ft}}=\frac{L_{\mathrm{in}}}{12},\qquad \sigma_{\mathrm{ft}}=\frac{\sigma_{\mathrm{in}}}{12}.
Usando os valores antes do arredondamento:
L_{\mathrm{ft}}=\frac{25,8937007874}{12}\approx2,15780839895\\ \mathrm{ft}, \qquad \sigma_{\mathrm{ft}}=\frac{0,0236220472}{12}\approx0,0019685039\\ \mathrm{ft}.
Arredondamento: \sigma_{\mathrm{ft}}\approx0,0019685. O primeiro algarismo é 1, então aplicamos a regra de manter 2 algarismos significativos na incerteza: \sigma_{\mathrm{ft}}=0,00197\\ \mathrm{ft}. Arredondamos L_{\mathrm{ft}} para a mesma casa decimal (a quinquagésima milésima, cinco casas decimais):
L_{\mathrm{ft}}=(2,15781\pm0,00197)\\ \mathrm{ft}.

Resposta

L=(0,6577\pm0,0006)\\ \mathrm{m}
L=(25,894\pm0,024)\\ \mathrm{in}
L=(2,15781\pm0,00197)\\ \mathrm{ft}

Exercícios relacionados