Um construtor deseja construir um depósito com capacidade de 30 metros cúbicos, teto plano, base retangular cuja largura é o dobro do comprimento. O custo por metro quadrado do material é de R $ 10,00 para o chão, 10,00 para o chão, para a lateral e 20,00 para o teto. Que dimensões do depósito minimizarão o custo da construção?

Passo 1

A questão pede um depósito retangular com largura o dobro do comprimento, volume de 30 m³, custo diferente para piso (R$ 10/m²), paredes (R$ 20/m²) e teto (R$ 30/m²), e queríamos achar as dimensões que minimizam o custo. O conteúdo envolve modelar o volume e o custo e usar otimização (derivadas) para encontrar o mínimo.

Passo 2

Definimos o comprimento como l, a largura como w=2l e a altura como h. A condição de volume é V=lwh=2l^2h=30, daí isolamos a altura: h=302l^2=15l^2

Passo 3

Agora montamos o custo total C. O piso tem área ltimes w=2l^2 com custo 10cdot2l^2=20l^2. O teto, mesma área, custa 30cdot2l^2=60l^2. As paredes têm área total 2lh+2wh=2lh+4lh=6lh e custam 20cdot6lh=120lh. Assim,
C(l)=20l^2+60l^2+120l,h=80l^2+120l,h

Passo 4

Substituindo h=15/l^2 em C(l), obtemos uma função de uma variável:
C(l)=80l^2+120lcdot15l^2=80l^2+1800l

Passo 5

Para achar o mínimo, derivamos C(l) e igualamos a zero:
C'(l)=160l-1800l^2=0Rightarrow160l^3=1800Rightarrow l^3=11,25Rightarrow l=raiz[3]11,25approx2,24 m

Passo 6

Confirmando que C''(l)>0 nesse ponto, é mínimo. Finalmente calculamos
w=2lapprox4,48 m, h=15l^2approx3,00 m

Resposta

Comprimento lapprox2,24 m, largura wapprox4,48 m e altura happrox3,00 m.

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