Um construtor deseja construir um depósito com capacidade de 30 metros cúbicos, teto plano, base retangular cuja largura é o dobro do comprimento. O custo por metro quadrado do material é de R $ 10,00 para o chão,
para a lateral e
para o teto. Que dimensões do depósito minimizarão o custo da construção?
Passo 1
A questão pede um depósito retangular com largura o dobro do comprimento, volume de 30 m³, custo diferente para piso (R$ 10/m²), paredes (R$ 20/m²) e teto (R$ 30/m²), e queríamos achar as dimensões que minimizam o custo. O conteúdo envolve modelar o volume e o custo e usar otimização (derivadas) para encontrar o mínimo.
Passo 2
Definimos o comprimento como
, a largura como
e a altura como
. A condição de volume é
, daí isolamos a altura:
Passo 3
Agora montamos o custo total
. O piso tem área
com custo
. O teto, mesma área, custa
. As paredes têm área total
e custam
. Assim,
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos uma função de uma variável:
Passo 5
Para achar o mínimo, derivamos
e igualamos a zero:
Passo 6
Confirmando que
nesse ponto, é mínimo. Finalmente calculamos
Resposta
Comprimento
m, largura
m e altura
m.