Um retângulo está inscrito em uma elipse de equação x^29+y^24=1. Qual deve ser as dimensões para que se tenha uma área máxima e qual é esta área?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um retângulo inscrito na elipse x^29+y^24=1. Queremos as dimensões do retângulo de área máxima. Esse problema é de otimização com restrição, mas podemos expressar uma variável em função da outra usando a própria equação da elipse.

Passo 2

Escolhemos um vértice no primeiro quadrante com coordenadas (x,y). A largura do retângulo é 2x e a altura é 2y, então a área vale
A = 4xy

Passo 3

Da equação da elipse
x^29 + y^24 = 1
isolamos y no primeiro quadrante:
y = 2 raiz1 - x^29
Substituindo em A = 4xy obtemos
A(x) = 8x raiz1 - x^29

Passo 4

Para maximizar A(x), derivamos em relação a x e igualamos a zero. Pela regra do produto e cadeia, temos
A'(x) = 8 raiz1 - x^29 + 8x cdot 12raiz1 - x^29 cdot l(-tfrac2x9r)
que, ao simplificar, leva à condição
1 - x^29 = x^29
de onde surge
x = 3raiz2

Passo 5

Com x = tfrac3raiz2 temos
y = 2raiz1 - (3/raiz2)^29 = 2raiztfrac12 = raiz2
Então a largura é 2x = 3raiz2 e a altura é 2y = 2raiz2. A área máxima é
Amax = 4xy = 4 cdot 3raiz2 cdot raiz2 = 12

Resposta

As dimensões que maximizam a área são largura = 3raiz2 e altura = 2raiz2, e a área máxima vale 12.

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