Um retângulo está inscrito em uma elipse de equação
. Qual deve ser as dimensões para que se tenha uma área máxima e qual é esta área?
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um retângulo inscrito na elipse
. Queremos as dimensões do retângulo de área máxima. Esse problema é de otimização com restrição, mas podemos expressar uma variável em função da outra usando a própria equação da elipse.
Passo 2
Escolhemos um vértice no primeiro quadrante com coordenadas
. A largura do retângulo é
e a altura é
, então a área vale
Passo 3
Da equação da elipse
isolamos
no primeiro quadrante:
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Para maximizar
, derivamos em relação a
e igualamos a zero. Pela regra do produto e cadeia, temos
que, ao simplificar, leva à condição
de onde surge
Passo 5
Com
temos
Então a largura é
e a altura é
. A área máxima é
Resposta
As dimensões que maximizam a área são largura =
e altura =
, e a área máxima vale
.