Em um experimento de teste psicológico, 25 indivíduos são selecionados aleatoriamente e seus tempos de reação, em segundos, para certo experimento são medidos. Experiências passadas sugerem que a variância no tempo de reação para esses tipos de estímulo é 4 segundos
e que o tempo de reação é aproximadamente normal. O tempo médio para os indivíduos foi de 6,2 segundos. Determine o intervalo de confiança para um nível de significância de
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um intervalo de confiança:
- Número de indivíduos (tamanho da amostra):
. - Média amostral do tempo de reação:
segundos. - Variância populacional conhecida:
segundos . - Suposição: o tempo de reação é aproximadamente normal.
- Nível de significância:
(ou seja, ).
O que se pede: determinar o intervalo de confiança para a média populacional do tempo de reação com nível de significância
(equivalente a
de confiança).
Passo 2
Vamos entender o que é um intervalo de confiança (IC) de forma prática e por que ele serve: um IC para a média é um intervalo construído a partir dos dados da amostra que, em muitas repetições do experimento, contém a verdadeira média populacional com a probabilidade do nível de confiança. Aqui queremos construir um intervalo que tenha
de confiança.
Passo 3
Qual fórmula usar? Como a variância populacional
é conhecida e a população (ou a amostra) é aproximadamente normal, usamos o intervalo baseado na distribuição normal padrão (z). A fórmula geral do intervalo de confiança para a média é:
onde:
-
é a média amostral, -
é o quantil da distribuição normal padrão que deixa área em cada cauda (por exemplo, para , ), -
é o desvio-padrão populacional (raiz da variância), -
é o tamanho da amostra, -
é o erro padrão da média (mostra quanto a média amostral costuma variar).
Vou explicar cada termo rapidamente:
-
: para de confiança, procuramos o valor de tal que a área entre e é . Isso deixa em cada cauda, e esse valor é bem conhecido: . -
: se é o desvio-padrão populacional, dividir por ajusta para o fato de que médias de amostras grandes variam menos do que observações individuais.
Passo 4
Calcular o desvio-padrão populacional a partir da variância fornecida:
Passo 5
Calcular o erro padrão da média:
Isso significa que, tipicamente, a média amostral varia cerca de
segundos em relação à média populacional.
Passo 6
Obter o valor crítico
. Para
:
Calcular a margem de erro (ME):
Passo 7
Construir o intervalo de confiança aplicando a fórmula:
Passo 8
Interpretação curta e encorajamento: o intervalo
nos diz que, com
de confiança, a média verdadeira do tempo de reação está entre aproximadamente
e
segundos. Boa! Você agora tem o procedimento passo a passo que pode repetir em provas: identificar se
é conhecida, usar a fórmula com
, calcular erro padrão, margem de erro e os limites.