Em um experimento de teste psicológico, 25 indivíduos são selecionados aleatoriamente e seus tempos de reação, em segundos, para certo experimento são medidos. Experiências passadas sugerem que a variância no tempo de reação para esses tipos de estímulo é 4 segundos { }^{2} e que o tempo de reação é aproximadamente normal. O tempo médio para os indivíduos foi de 6,2 segundos. Determine o intervalo de confiança para um nível de significância de 5 \%.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um intervalo de confiança:
  • Número de indivíduos (tamanho da amostra): n=25.
  • Média amostral do tempo de reação: \bar{x}=6,2 segundos.
  • Variância populacional conhecida: \sigma^{2}=4 segundos {}^{2}.
  • Suposição: o tempo de reação é aproximadamente normal.
  • Nível de significância: 5\% (ou seja, \alpha=0,05).
O que se pede: determinar o intervalo de confiança para a média populacional do tempo de reação com nível de significância \alpha=0,05 (equivalente a 95\% de confiança).

Passo 2

Vamos entender o que é um intervalo de confiança (IC) de forma prática e por que ele serve: um IC para a média é um intervalo construído a partir dos dados da amostra que, em muitas repetições do experimento, contém a verdadeira média populacional com a probabilidade do nível de confiança. Aqui queremos construir um intervalo que tenha 95\% de confiança.

Passo 3

Qual fórmula usar? Como a variância populacional \sigma^{2} é conhecida e a população (ou a amostra) é aproximadamente normal, usamos o intervalo baseado na distribuição normal padrão (z). A fórmula geral do intervalo de confiança para a média é:
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral,
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que deixa área \alpha/2 em cada cauda (por exemplo, para \alpha=0,05, z_{0,025}),
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (raiz da variância),
  • n é o tamanho da amostra,
  • \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (mostra quanto a média amostral costuma variar).
Vou explicar cada termo rapidamente:
  • z_{\alpha/2}: para 95\% de confiança, procuramos o valor de z tal que a área entre -z e +z é 0,95. Isso deixa 0,025 em cada cauda, e esse valor é bem conhecido: z_{0,025}=1,96.
  • \sigma/\sqrt{n}: se \sigma é o desvio-padrão populacional, dividir por \sqrt{n} ajusta para o fato de que médias de amostras grandes variam menos do que observações individuais.

Passo 4

Calcular o desvio-padrão populacional a partir da variância fornecida:
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{4}=2.

Passo 5

Calcular o erro padrão da média:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{25}}=\frac{2}{5}=0,4.
Isso significa que, tipicamente, a média amostral varia cerca de 0,4 segundos em relação à média populacional.

Passo 6

Obter o valor crítico z_{\alpha/2}. Para \alpha=0,05:
z_{\alpha/2}=z_{0,025}=1,96.
Calcular a margem de erro (ME):
\text{ME}=z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1,96\times 0,4=0,784.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança aplicando a fórmula:
\text{Limite inferior}=\bar{x}-\text{ME}=6,2-0,784=5,416.
\text{Limite superior}=\bar{x}+\text{ME}=6,2+0,784=6,984.

Passo 8

Interpretação curta e encorajamento: o intervalo [5,416;\,6,984] nos diz que, com 95\% de confiança, a média verdadeira do tempo de reação está entre aproximadamente 5,416 e 6,984 segundos. Boa! Você agora tem o procedimento passo a passo que pode repetir em provas: identificar se \sigma é conhecida, usar a fórmula com z, calcular erro padrão, margem de erro e os limites.

Resposta

\displaystyle [5,416;\;6,984]

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