Considere uma urna contendo 3 bolas verdes e 5 bolas azuis. Cada retirada é equiprovável e, quando indicada, as retiradas são feitas sem reposição.
Experimento de Xavier: Xavier realiza duas retiradas consecutivas, sem reposição.
a) (1 ponto) Determinar a probabilidade de que a segunda bola retirada seja verde.
b) ( 1 ponto) Calcule a probabilidade de que a primeira bola tenha sido azul, dado que a segunda bola foi verde.

Passo 1

Dados do enunciado:
\text{há }3\text{ bolas verdes e }5\text{ bolas azuis, total }8.á
Xavier realiza duas retiradas consecutivas sem reposição. O enunciado pede:
\text{(a) a probabilidade de que a segunda bola seja verde;}
\text{(b) a probabilidade de que a primeira bola tenha sido azul, dado que a segunda foi verde.}

Passo 2

Vamos rever as ferramentas que precisamos (com explicações bem claras):
  1. Regra do produto (probabilidade condicional): para dois eventos A e B,
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A).
Isto significa: a probabilidade de que ocorram A e B em sequência é a probabilidade do primeiro evento A multiplicada pela probabilidade do segundo evento B dado que A já ocorreu.
  1. Teorema da probabilidade total (no contexto de duas possibilidades para a primeira retirada): se particionamos o espaço em A e A^c,
P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(A^c)P(B\mid A^c).
Aqui usamos quando queremos P(\text{segunda verde}) e condicionamos ao resultado da primeira retirada.
  1. Fórmula de Bayes (para inverter condicionamentos): para eventos A e B com P(B)>0,
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Será usada em (b) para calcular P(\text{primeira azul}\mid \text{segunda verde}).
Explicação das notações:
  • P(X) é a probabilidade do evento X.
  • P(Y\mid X) é a probabilidade de Y ocorrer sabendo que X ocorreu.
  • A\cap B é o evento "ocorre A e ocorre B".

Passo 3

Calcular P(\text{segunda verde}) pela probabilidade total condicionando à cor da primeira bola. Escrevemos os dois casos: primeira verde ou primeira azul.
P(\text{2ª verde})=P(\text{1ª verde})P(\text{2ª verde}\mid\text{1ª verde})+P(\text{1ª azul})P(\text{2ª verde}\mid\text{1ª azul}).ªªªªªªª
Agora calculo cada termo:
  • P(\text{1ª verde})=\dfrac{3}{8}ª (há 3 verdes entre 8).
  • Dado que a primeira foi verde, restam 2 verdes e total 7, então P(\text{2ª verde}\mid\text{1ª verde})=\dfrac{2}{7}ªª.
  • P(\text{1ª azul})=\dfrac{5}{8}ª.
  • Dado que a primeira foi azul, ainda restam 3 verdes entre 7, então P(\text{2ª verde}\mid\text{1ª azul})=\dfrac{3}{7}ªª.
Substituindo:
P(\text{2ª verde})=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}+\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}.ª

Passo 4

Faço as contas passo a passo para simplificar:
\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{6}{56},
\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{56},
P(\text{2ª verde})=\frac{6}{56}+\frac{15}{56}=\frac{21}{56}.ª
Simplificando \dfrac{21}{56} dividindo numerador e denominador por 7:
P(\text{2ª verde})=\frac{3}{8}.ª
Comentário intuitivo (útil para prova): a probabilidade da segunda bola ser verde é igual à proporção inicial de verdes \dfrac{3}{8}. Isso ocorre por simetria: antes de qualquer retirada, cada posição (primeira, segunda, …) tem a mesma chance de conter uma bola verde.

Passo 5

Agora calculo P(\text{1ª azul}\mid \text{2ª verde})ªª usando Bayes:
P(\text{1ª azul}\mid \text{2ª verde})=\frac{P(\text{1ª azul}\cap\text{2ª verde})}{P(\text{2ª verde})}.ªªªªª
O numerador já foi calculado em Passo 3 como
P(\text{1ª azul}\cap\text{2ª verde})=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{56}.ªª
O denominador é P(\text{2ª verde})=\dfrac{21}{56}ª (Passo 4). Então
P(\text{1ª azul}\mid \text{2ª verde})=\frac{\tfrac{15}{56}}{\tfrac{21}{56}}=\frac{15}{21}.ªª
Simplificando \dfrac{15}{21} dividindo por 3:
P(\text{1ª azul}\mid \text{2ª verde})=\frac{5}{7}.ªª
Interpretação rápida: se eu sei que a segunda é verde, é mais provável que a primeira tenha sido azul porque isso deixa mais verdes possíveis para a segunda; numericamente dá \dfrac{5}{7}\approx0,714.

Resposta

a) \dfrac{3}{8}
b) \dfrac{5}{7}

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