Considere uma urna contendo 3 bolas verdes e 5 bolas azuis. Cada retirada é equiprovável e, quando indicada, as retiradas são feitas sem reposição.
Experimento de Xavier: Xavier realiza duas retiradas consecutivas, sem reposição.
a) (1 ponto) Determinar a probabilidade de que a segunda bola retirada seja verde.
b) ( 1 ponto) Calcule a probabilidade de que a primeira bola tenha sido azul, dado que a segunda bola foi verde.
a) (1 ponto) Determinar a probabilidade de que a segunda bola retirada seja verde.
b) ( 1 ponto) Calcule a probabilidade de que a primeira bola tenha sido azul, dado que a segunda bola foi verde.
Passo 1
Dados do enunciado:
Xavier realiza duas retiradas consecutivas sem reposição. O enunciado pede:
Passo 2
Vamos rever as ferramentas que precisamos (com explicações bem claras):
- Regra do produto (probabilidade condicional): para dois eventos
e ,
Isto significa: a probabilidade de que ocorram
e
em sequência é a probabilidade do primeiro evento
multiplicada pela probabilidade do segundo evento
dado que
já ocorreu.
- Teorema da probabilidade total (no contexto de duas possibilidades para a primeira retirada): se particionamos o espaço em
e ,
Aqui usamos quando queremos
e condicionamos ao resultado da primeira retirada.
- Fórmula de Bayes (para inverter condicionamentos): para eventos
e com ,
Será usada em (b) para calcular
.
Explicação das notações:
-
é a probabilidade do evento . -
é a probabilidade de ocorrer sabendo que ocorreu. -
é o evento "ocorre e ocorre ".
Passo 3
Calcular
pela probabilidade total condicionando à cor da primeira bola. Escrevemos os dois casos: primeira verde ou primeira azul.
Agora calculo cada termo:
-
(há 3 verdes entre 8). - Dado que a primeira foi verde, restam 2 verdes e total 7, então
. -
. - Dado que a primeira foi azul, ainda restam 3 verdes entre 7, então
.
Substituindo:
Passo 4
Faço as contas passo a passo para simplificar:
Simplificando
dividindo numerador e denominador por
:
Comentário intuitivo (útil para prova): a probabilidade da segunda bola ser verde é igual à proporção inicial de verdes
. Isso ocorre por simetria: antes de qualquer retirada, cada posição (primeira, segunda, …) tem a mesma chance de conter uma bola verde.
Passo 5
Agora calculo
usando Bayes:
O numerador já foi calculado em Passo 3 como
O denominador é
(Passo 4). Então
Simplificando
dividindo por
:
Interpretação rápida: se eu sei que a segunda é verde, é mais provável que a primeira tenha sido azul porque isso deixa mais verdes possíveis para a segunda; numericamente dá
.
Resposta
a)
b)
b)