A polymer is manufactured in a batch chemical process. Viscosity measurements are normally made on each batch, and long experience with the process has indicated that the variability in the process is fairly stable with \sigma=20. Fifteen batch viscosity measurements are given as follows:
\begin{aligned} & 724,718,776,760,745,759,795,756,742,740,761, \\\ & 749,739,747,742 \end{aligned}
A process change that involves switching the type of catalyst used in the process is made. Following the process change, eight batch viscosity measurements are taken:
735,775,729,755,783,760,738,780
Assume that process variability is unaffected by the catalyst change. If the difference in mean batch viscosity is 10 or less, the manufacturer would like to detect it with a high probability.
(a) Formulate and test an appropriate hypothesis using \alpha=0.10. What are your conclusions? Find the P-value.
(b) Find a 90 \% confidence interval on the difference in mean batch viscosity resulting from the process change.
(c) Compare the results of parts (a) and (b) and discuss your findings.

Passo 1

O enunciado dá as medições de viscosidade antes e depois da mudança de catalisador, informa que a variabilidade do processo é estável com \sigma=20 (ou seja, o desvio padrão populacional é conhecido e igual a 20), e pede que façamos um teste com nível de significância \alpha=0{,}10 e também que calculemos um intervalo de confiança de 90\%. Dados fornecidos:
  • Antes (grupo 1): as 15 observações
    724,718,776,760,745,759,795,756,742,740,761,749,739,747,742
    ou seja, n_1=15.
  • Depois (grupo 2): as 8 observações
    735,775,729,755,783,760,738,780
    ou seja, n_2=8.
Informações adicionais importantes (vou usar isso na resolução):
  • \sigma=20 é o desvio padrão populacional assumido igual em ambos os grupos.
  • Nível de significância: \alpha=0{,}10.
  • O que se pede:
    (a) formular e testar hipótese apropriada e dar a conclusão e o P-valor;
    (b) encontrar um intervalo de confiança de 90\% para a diferença das médias (depois - antes);
    (c) comparar (a) e (b) e discutir.

Passo 2

Calcular as estatísticas amostrais: as médias amostrais \bar{x}_1 (antes) e \bar{x}_2 (depois).
Somando as 15 observações do grupo 1 obtemos a soma
\text{soma}_1 = 11\,253,
portanto
\bar{x}_1=\frac{\text{soma}_1}{n_1}=\frac{11\,253}{15}=750{,}2.
Somando as 8 observações do grupo 2 obtemos a soma
\text{soma}_2 = 6\,055,
portanto
\bar{x}_2=\frac{\text{soma}_2}{n_2}=\frac{6\,055}{8}=756{,}875.
A diferença amostral (depois menos antes) é
\bar{x}_2-\bar{x}_1 = 756{,}875 - 750{,}2 = 6{,}675.
Vou usar esses valores nas próximas contas.

Passo 3

Formular as hipóteses e explicar a escolha do teste.
Como o enunciado fala de mudança no processo (troca de catalisador) sem indicar direção específica, o teste apropriado é bicaudal:
H_0: \mu_{\text{depois}}-\mu_{\text{antes}}=0
H_a: \mu_{\text{depois}}-\mu_{\text{antes}}\neq 0.
Explicação curta do porquê: H_0 afirma que não houve mudança média; H_a afirma que houve mudança (pode ser aumento ou diminuição). Temos \sigma conhecido, amostras independentes, então usamos o teste-z para diferença de médias.

Passo 4

Construção da estatística de teste e cálculo (explicando a fórmula).
Quando o desvio padrão populacional \sigma é conhecido e as amostras são independentes, a diferença amostral \bar{x}_2-\bar{x}_1 é normal com variância
\operatorname{Var}(\bar{X}_2-\bar{X}_1)=\sigma^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right).
O erro padrão (standard error) da diferença é
\text{SE}=\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}.
Aqui \sigma=20, n_1=15, n_2=8, então
\text{SE}=20\sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{8}}=20\sqrt{0{,}0666667+0{,}125}=20\sqrt{0{,}1916667}\approx 8{,}7558.
A estatística z para testar H_0 é
z=\frac{\bar{x}_2-\bar{x}_1-0}{\text{SE}} =\frac{6{,}675}{8{,}7558}\approx 0{,}7625.
Comparação com o valor crítico: para teste bicaudal com \alpha=0{,}10, os pontos críticos são \pm z_{1-\alpha/2}=\pm z_{0{,}95}\approx\pm 1{,}645. Como
-1{,}645 < 0{,}7625 < 1{,}645,
não rejeitamos H_0. Em palavras: a evidência nos dados não é suficiente para concluir que houve mudança significativa na média da viscosidade ao nível \alpha=0{,}10.

Passo 5

Cálculo do P-valor e interpretação.
O P-valor para o teste bicaudal é
P\text{-valor}=2\big(1-\Phi(|z|)\big),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão. Com z\approx 0{,}7625,
\Phi(0{,}7625)\approx 0{,}7778,
logo
P\text{-valor}\approx 2(1-0{,}7778)=2(0{,}2222)=0{,}4444.
Interpretação: P-valor grande ( \approx 0{,}444) reforça que não há evidência contra H_0 ao nível \alpha=0{,}10.

Passo 6

Construção do intervalo de confiança de 90\% para \mu_{\text{depois}}-\mu_{\text{antes}}.
Para (1-\alpha)=0{,}90 o quantil é z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}95}\approx 1{,}645. O intervalo é
(\bar{x}_2-\bar{x}_1)\pm z_{0{,}95}\cdot\text{SE}.
Substituindo os valores:
\text{margem}=1{,}645\times 8{,}7558\approx 14{,}403.
Portanto o intervalo é
6{,}675 \pm 14{,}403,
isto é
\big(6{,}675-14{,}403,\;6{,}675+14{,}403\big)\approx(-7{,}728,\;21{,}078).
Interpretação: com 90\% de confiança, a diferença verdadeira \mu_{\text{depois}}-\mu_{\text{antes}} está entre aproximadamente -7{,}73 e 21{,}08.

Passo 7

Comparação das conclusões do teste e do intervalo e discussão da questão prática (detectabilidade de diferença de 10).
  • O teste (parte a) não rejeita H_0; não há evidência estatística, ao nível \alpha=0{,}10, de que a média mudou após a troca de catalisador.
  • O intervalo de 90\% (parte b) contém 0, concordando com a não rejeição do teste — isto é consistente: o teste bicaudal a 10\% e o intervalo de 90\% devem concordar quanto a inclusão de 0.
  • Sobre a capacidade de detectar uma diferença de 10: o intervalo obtido é (-7{,}73,\;21{,}08), que contém 10. Isso significa que, com os dados e o tamanho das amostras atuais, não podemos excluir uma diferença real de 10 (ou seja, é plausível que a mudança real seja +10). Em termos práticos: a amostra atual não é grande o suficiente (ou o efeito observado é pequeno) para concluir que há diferença e também não é pequena o suficiente para descartar uma diferença de 10. Se o fabricante deseja ter alta probabilidade de detectar uma diferença de magnitude 10, seria necessário aumentar o tamanho das amostras (ou aceitar um maior \alpha) — isto é, a potência do teste com os tamanhos atuais não é alta para detectar efeito de 10.

Resposta

(a) Não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}10. Estatística z\approx 0{,}7625. P-valor \approx 0{,}4444.\n
(b) Intervalo de 90\% para \mu_{\text{depois}}-\mu_{\text{antes}}: (-7{,}73,\;21{,}08).\n
(c) Ambos concordam: o teste não mostra mudança significativa e o intervalo contém 0. O intervalo também contém 10, portanto com as amostras atuais não se pode descartar nem confirmar uma mudança de 10; amostras maiores seriam necessárias para detectar com alta probabilidade uma diferença de 10.

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