A polymer is manufactured in a batch chemical process. Viscosity measurements are normally made on each batch, and long experience with the process has indicated that the variability in the process is fairly stable with
. Fifteen batch viscosity measurements are given as follows:
A process change that involves switching the type of catalyst used in the process is made. Following the process change, eight batch viscosity measurements are taken:
Assume that process variability is unaffected by the catalyst change. If the difference in mean batch viscosity is 10 or less, the manufacturer would like to detect it with a high probability.
(a) Formulate and test an appropriate hypothesis using
. What are your conclusions? Find the
-value.
(b) Find a
confidence interval on the difference in mean batch viscosity resulting from the process change.
(c) Compare the results of parts (a) and (b) and discuss your findings.
(a) Formulate and test an appropriate hypothesis using
(b) Find a
(c) Compare the results of parts (a) and (b) and discuss your findings.
Passo 1
O enunciado dá as medições de viscosidade antes e depois da mudança de catalisador, informa que a variabilidade do processo é estável com
(ou seja, o desvio padrão populacional é conhecido e igual a
), e pede que façamos um teste com nível de significância
e também que calculemos um intervalo de confiança de
. Dados fornecidos:
-
Antes (grupo 1): as
observações ou seja,. -
Depois (grupo 2): as
observações ou seja,.
Informações adicionais importantes (vou usar isso na resolução):
-
é o desvio padrão populacional assumido igual em ambos os grupos. - Nível de significância:
. - O que se pede:
(a) formular e testar hipótese apropriada e dar a conclusão e o-valor;
(b) encontrar um intervalo de confiança depara a diferença das médias (depois - antes);
(c) comparar (a) e (b) e discutir.
Passo 2
Calcular as estatísticas amostrais: as médias amostrais
(antes) e
(depois).
Somando as
observações do grupo 1 obtemos a soma
portanto
Somando as
observações do grupo 2 obtemos a soma
portanto
A diferença amostral (depois menos antes) é
Vou usar esses valores nas próximas contas.
Passo 3
Formular as hipóteses e explicar a escolha do teste.
Como o enunciado fala de mudança no processo (troca de catalisador) sem indicar direção específica, o teste apropriado é bicaudal:
Explicação curta do porquê:
afirma que não houve mudança média;
afirma que houve mudança (pode ser aumento ou diminuição). Temos
conhecido, amostras independentes, então usamos o teste-z para diferença de médias.
Passo 4
Construção da estatística de teste e cálculo (explicando a fórmula).
Quando o desvio padrão populacional
é conhecido e as amostras são independentes, a diferença amostral
é normal com variância
O erro padrão (standard error) da diferença é
Aqui
,
,
, então
A estatística
para testar
é
Comparação com o valor crítico: para teste bicaudal com
, os pontos críticos são
. Como
não rejeitamos
. Em palavras: a evidência nos dados não é suficiente para concluir que houve mudança significativa na média da viscosidade ao nível
.
Passo 5
Cálculo do
-valor e interpretação.
O
-valor para o teste bicaudal é
onde
é a função de distribuição acumulada da Normal padrão. Com
,
logo
Interpretação:
-valor grande (
) reforça que não há evidência contra
ao nível
.
Passo 6
Construção do intervalo de confiança de
para
.
Para
o quantil é
. O intervalo é
Substituindo os valores:
Portanto o intervalo é
isto é
Interpretação: com
de confiança, a diferença verdadeira
está entre aproximadamente
e
.
Passo 7
Comparação das conclusões do teste e do intervalo e discussão da questão prática (detectabilidade de diferença de
).
- O teste (parte a) não rejeita
; não há evidência estatística, ao nível , de que a média mudou após a troca de catalisador. - O intervalo de
(parte b) contém , concordando com a não rejeição do teste — isto é consistente: o teste bicaudal a e o intervalo de devem concordar quanto a inclusão de . - Sobre a capacidade de detectar uma diferença de
: o intervalo obtido é , que contém . Isso significa que, com os dados e o tamanho das amostras atuais, não podemos excluir uma diferença real de (ou seja, é plausível que a mudança real seja ). Em termos práticos: a amostra atual não é grande o suficiente (ou o efeito observado é pequeno) para concluir que há diferença e também não é pequena o suficiente para descartar uma diferença de . Se o fabricante deseja ter alta probabilidade de detectar uma diferença de magnitude , seria necessário aumentar o tamanho das amostras (ou aceitar um maior ) — isto é, a potência do teste com os tamanhos atuais não é alta para detectar efeito de .
Resposta
(a) Não rejeitamos
ao nível
. Estatística
.
-valor
.\n
(b) Intervalo de para
:
.\n
(c) Ambos concordam: o teste não mostra mudança significativa e o intervalo contém . O intervalo também contém
, portanto com as amostras atuais não se pode descartar nem confirmar uma mudança de
; amostras maiores seriam necessárias para detectar com alta probabilidade uma diferença de
.
(b) Intervalo de
(c) Ambos concordam: o teste não mostra mudança significativa e o intervalo contém