\oplus Consider the hypothesis test H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2} against H_{1}: \mu_{1}<\mu_{2} with known variances \sigma_{1}=10 and \sigma_{2}=5. Suppose that sample sizes n_{1}=10 and n_{2}=15 and that \bar{x}_{1}=14.2 and \bar{x}_{2}=19.7. Use \alpha=0.05.
(a) Test the hypothesis and find the P-value.
(b) Explain how the test could be conducted with a confidence interval.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Realizar o teste da hipótese H_0:\mu_{1}=\mu_{2}\quad\text{vs.}\quad H_1:\mu_{1}<\mu_{2}
com variâncias conhecidas, usando \alpha=0,05, e encontrar o P-value.
2. (b) Explicar como conduzir o mesmo teste usando um intervalo de confiança.
Dados fornecidos (vou listá‑los explicitamente):
\sigma_{1}=10,\quad \sigma_{2}=5,
n_{1}=10,\quad n_{2}=15,
\bar{x}_{1}=14,2,\quad \bar{x}_{2}=19,7,
\alpha=0,05.

Passo 2

Qual é o teste apropriado e por quê?
Temos duas amostras independentes, variâncias populacionais conhecidas, e queremos testar igualdade de médias com hipótese alternativa unilateral ( \mu_1<\mu_2). O teste padrão é o teste Z para a diferença de médias. Vou explicar a estatística e suas partes:
A estatística de teste é
Z=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2-(\mu_{1}-\mu_{2})_{H_0}}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}.
Explicando cada termo:
  • \bar{X}_1 e \bar{X}_2 são as médias amostrais (aqui \bar{x}_1 e \bar{x}_2 dados).
  • (\mu_{1}-\mu_{2})_{H_0} é o valor da diferença sob H_0. Como H_0:\mu_1=\mu_2, temos (\mu_{1}-\mu_{2})_{H_0}=0.
  • \sigma_{1}^{2}/n_{1}+\sigma_{2}^{2}/n_{2} é a variância da diferença \bar{X}_1-\bar{X}_2 quando as variâncias são conhecidas; a raiz quadrada disso é o erro padrão (SE).
Sob H_0, Z segue aproximadamente a distribuição normal padrão N(0,1). Para a hipótese alternativa \mu_1<\mu_2 (esquerda), rejeitamos H_0 para valores suficientemente negativos de Z.

Passo 3

Calcular o erro padrão (SE) passo a passo:
Primeiro calcule as contribuições das variâncias amostrais:
\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}=\frac{10^{2}}{10}=\frac{100}{10}=10.
\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}=\frac{5^{2}}{15}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}\approx 1,666\ldots
Somando:
\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}=10+\frac{5}{3}=\frac{35}{3}\approx 11,666\ldots
Agora a raiz quadrada (o SE):
\text{SE}=\sqrt{\frac{35}{3}}\approx 3,41565.

Passo 4

Calcular a estatística Z:
A diferença observada das médias é
\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=14,2-19,7=-5,5.
Como (\mu_1-\mu_2)_{H_0}=0, temos
Z=\frac{-5,5}{\sqrt{\frac{35}{3}}}=\frac{-5,5}{3,41565}\approx -1,6101.

Passo 5

Encontrar o P-value e tomar a decisão.
Para um teste unilateral à esquerda ( H_1:\mu_1<\mu_2), o P-value é
P\text{-value}=P(Z_{\text{pad}} \le Z_{\text{obs}})=\Phi(Z_{\text{obs}}),
onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão e Z_{\text{obs}} é o valor calculado.
Com Z_{\text{obs}}\approx -1,6101,
P\text{-value}=\Phi(-1,6101)\approx 0,0536.
Comparando com \alpha=0,05: temos P\text{-value}\approx 0,0536>0,05, portanto não rejeitamos H_0 ao nível de 5\%. Em linguagem prática: não há evidência estatística suficiente, a 5\%, para concluir que \mu_1<\mu_2.

Passo 6

Como relacionar isso com intervalos de confiança (explicação didática):
A ideia é construir um limite superior de confiança para \mu_1-\mu_2. Para um teste unilateral à esquerda com nível \alpha, podemos construir um intervalo unilateral superior de nível 1-\alpha para \mu_1-\mu_2. Se o limite superior do intervalo for menor que 0, rejeitamos H_0.
A fórmula do limite superior (um lado) é
\text{LS}=(\bar{x}_1-\bar{x}_2)+z_{1-\alpha}\cdot\text{SE},
onde z_{1-\alpha} é o quantil da normal padrão tal que P(Z\le z_{1-\alpha})=1-\alpha. Para \alpha=0,05 temos z_{0,95}\approx 1,645.
Calculemos:
\text{LS}=-5,5+1,645\cdot 3,41565\approx -5,5+5,618\approx 0,118.
Interpretação: um intervalo unilateral superior de 95\% para \mu_1-\mu_2 é (-\infty,\;0,118) aproximadamente. Como 0 está dentro desse intervalo (isto é, o limite superior é maior que 0), não rejeitamos H_0 ao nível 5\%. Isso dá a mesma conclusão do teste com P-value.
Também é útil ver o intervalo de confiança bilateral de 95\% para reforçar a intuição. A fórmula bilateral é
(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm z_{1-\alpha/2}\cdot\text{SE},
com z_{0,975}\approx 1,96. Assim,
\text{margem}=1,96\cdot 3,41565\approx 6,693,
\text{IC}_{95\%}=[-5,5-6,693,\;-5,5+6,693]=[-12,193,\;1,193].
Como esse intervalo contém 0, também conclui‑se por não rejeitar H_0 ao nível de 5\%.

Resposta

(a) Não rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,05. P-value \approx 0,0536.\n(b) Usando um limite superior de confiança de 95\% para \mu_1-\mu_2 obtém‑se (-\infty,\;0,118), cujo limite superior é maior que 0, logo também não se rejeita H_0. (O intervalo bilateral de 95\% é [-12,193,\;1,193], que contém 0.)

Exercícios relacionados