Consider the hypothesis test
against
with known variances
and
. Suppose that sample sizes
and
and that
and
. Use
.
(a) Test the hypothesis and find the
-value.
(b) Explain how the test could be conducted with a confidence interval.
(a) Test the hypothesis and find the
(b) Explain how the test could be conducted with a confidence interval.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Realizar o teste da hipótese
com variâncias conhecidas, usando
, e encontrar o
-value.
2. (b) Explicar como conduzir o mesmo teste usando um intervalo de confiança.
2. (b) Explicar como conduzir o mesmo teste usando um intervalo de confiança.
Dados fornecidos (vou listá‑los explicitamente):
Passo 2
Qual é o teste apropriado e por quê?
Temos duas amostras independentes, variâncias populacionais conhecidas, e queremos testar igualdade de médias com hipótese alternativa unilateral ( ). O teste padrão é o teste
para a diferença de médias. Vou explicar a estatística e suas partes:
Temos duas amostras independentes, variâncias populacionais conhecidas, e queremos testar igualdade de médias com hipótese alternativa unilateral (
A estatística de teste é
Explicando cada termo:
-
e são as médias amostrais (aqui e dados). -
é o valor da diferença sob . Como , temos . -
é a variância da diferença quando as variâncias são conhecidas; a raiz quadrada disso é o erro padrão (SE).
Sob
,
segue aproximadamente a distribuição normal padrão
. Para a hipótese alternativa
(esquerda), rejeitamos
para valores suficientemente negativos de
.
Passo 3
Calcular o erro padrão (SE) passo a passo:
Primeiro calcule as contribuições das variâncias amostrais:
Somando:
Agora a raiz quadrada (o SE):
Passo 4
Calcular a estatística
:
A diferença observada das médias é
Como
, temos
Passo 5
Encontrar o
-value e tomar a decisão.
Para um teste unilateral à esquerda (
), o
-value é
onde
é a função de distribuição da normal padrão e
é o valor calculado.
Com
,
Comparando com
: temos
, portanto não rejeitamos
ao nível de
. Em linguagem prática: não há evidência estatística suficiente, a
, para concluir que
.
Passo 6
Como relacionar isso com intervalos de confiança (explicação didática):
A ideia é construir um limite superior de confiança para
. Para um teste unilateral à esquerda com nível
, podemos construir um intervalo unilateral superior de nível
para
. Se o limite superior do intervalo for menor que
, rejeitamos
.
A fórmula do limite superior (um lado) é
onde
é o quantil da normal padrão tal que
. Para
temos
.
Calculemos:
Interpretação: um intervalo unilateral superior de
para
é
aproximadamente. Como
está dentro desse intervalo (isto é, o limite superior é maior que
), não rejeitamos
ao nível
. Isso dá a mesma conclusão do teste com
-value.
Também é útil ver o intervalo de confiança bilateral de
para reforçar a intuição. A fórmula bilateral é
com
. Assim,
Como esse intervalo contém
, também conclui‑se por não rejeitar
ao nível de
.
Resposta
(a) Não rejeitamos
ao nível
.
-value
.\n(b) Usando um limite superior de confiança de
para
obtém‑se
, cujo limite superior é maior que
, logo também não se rejeita
. (O intervalo bilateral de
é
, que contém
.)