Em um experimento de Young de dupla fenda, a razão entre o comprimento de onda e a distância entre as fendas vale (\lambda / d)=0,05. Um padrão de interferência é formado em uma tela localizada a 5 m das fendas. Determine:
a) (1,5) A posição angular dos máximos de interferência em função de m (m-ésimo máximo) utilizando o princípio de Huygens via superposição das ondas eletromagnéticas E_{1}=E_{0} \sin \left(k r_{1}-\omega t\right) e E_{2}=E_{0} \sin \left(k r_{2}-\omega t\right), com r_{2}\left(=r_{1}+\Delta L\right) e r_{1} aproximadamente paralelos. Sugestão: \operatorname{sina}+\operatorname{sinb}=2 \cos [(a-b) / 2] \sin [(a+b) / 2].
b) (1,0) Determine a altura do segundo máximo (em relação ao máximo central). Use a aproximação \sin \theta \approx \operatorname{tg} \theta \approx \theta.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    • A razão \lambda/d = 0,05.
    • A tela está a L=5\\ \text{m} das fendas.
    • As ondas das duas fendas são dadas por E_{1}=E_{0}\sin\!\big(k r_{1}-\omega t\big) e E_{2}=E_{0}\sin\!\big(k r_{2}-\omega t\big), com r_{2}=r_{1}+\Delta L.
    • Sugestão trigonométrica: \sin a+\sin b=2\cos\!\big(\tfrac{a-b}{2}\big)\sin\!\big(\tfrac{a+b}{2}\big).
    • Aproximação permitida para a parte (b): \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Determinar a posição angular dos máximos de interferência em função de m (o m-ésimo máximo), usando superposição das ondas dadas.
    (b) Determinar a altura (posição na tela) do segundo máximo em relação ao máximo central, usando a aproximação indicada.

Passo 2

Somar as duas ondas usando a identidade sugerida. Primeiro escrevo k em função de \lambda:
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
Agora aplico a soma:
E=E_{1}+E_{2}=E_{0}\sin\!\big(k r_{1}-\omega t\big)+E_{0}\sin\!\big(k r_{2}-\omega t\big).
Usando a identidade \sin a+\sin b=2\cos\!\big(\tfrac{a-b}{2}\big)\sin\!\big(\tfrac{a+b}{2}\big) com a=k r_{1}-\omega t e b=k r_{2}-\omega t, obtemos:
E=2E_{0}\cos\!\Big(\frac{k(r_{1}-r_{2})}{2}\Big)\sin\!\Big(\frac{k(r_{1}+r_{2})}{2}-\omega t\Big).
Como r_{2}=r_{1}+\Delta L, temos r_{1}-r_{2}=-\Delta L e portanto a amplitude prefatorial fica
A(\Delta L)=2E_{0}\cos\!\Big(\frac{k\Delta L}{2}\Big).
Isso nos diz: o campo total oscila com amplitude A(\Delta L) que depende do \Delta L; máximos de intensidade ocorrem quando |A(\Delta L)| é máximo.

Passo 3

Converter a condição de máximo de amplitude em condição sobre \Delta L. A amplitude é máxima quando \big|\cos\!\big(\tfrac{k\Delta L}{2}\big)\big|=1. Isso ocorre quando
\frac{k\Delta L}{2}=m\pi,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Substituindo k=\dfrac{2\pi}{\lambda},
\frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{\Delta L}{2}=m\pi \quad\Longrightarrow\quad \Delta L = m\lambda.
Portanto a condição de máximos construtivos (interferência construtiva) é
\Delta L = m\lambda,\qquad m=0,\pm1,\pm2,\dots
(obs.: m=0 é o máximo central).

Passo 4

Relacionar \Delta L com a posição angular \theta na tela. Para as duas fendas separadas por distância d e observando um ponto da tela sob ângulo \theta (medido a partir da perpendicular ao plano das fendas), a diferença de percurso vale, no caso de raios aproximadamente paralelos (geometria de Fraunhofer),
\Delta L = d\sin\theta.
Igualando à condição de máximos:
d\sin\theta_{m}=m\lambda.
Essa é a fórmula exata (no modelo de duas fendas puntiformes). Logo a posição angular do m-ésimo máximo é
\theta_{m}=\arcsin\!\Big(\frac{m\lambda}{d}\Big), \qquad \text{com } \frac{m\lambda}{d}\le 1.

Passo 5

Aplicar a aproximação de pequeno ângulo recomendada para simplificar a expressão e dar a forma prática. Para ângulos pequenos usa-se \sin\theta\approx\theta (em radianos), então:
\theta_{m}\approx \frac{m\lambda}{d}.
Como o enunciado deu \dfrac{\lambda}{d}=0,05, obtemos a forma numérica simples
\theta_{m}\approx 0,05\,m\quad\text{(radianos)}.
Lembrar que m inteiro e que a aproximação só é boa enquanto |\theta_m| for pequeno.

Passo 6

Determinar a altura (posição) do segundo máximo na tela (parte b). A posição vertical y de um máximo na tela a distância L é dada por
y_{m}=L\tan\theta_{m}.
Usando a aproximação \tan\theta\approx\theta (indicada), fica
y_{m}\approx L\theta_{m}\approx L\frac{m\lambda}{d}.
Para o segundo máximo m=2, substituindo L=5\\ \text{m} e \dfrac{\lambda}{d}=0,05:
y_{2}\approx 5\cdot 2\cdot 0,05 = 5\cdot 0,1 = 0,5\\ \text{m}.
Também podemos mostrar o ângulo correspondente: \theta_{2}\approx 0,1\\ \text{rad}\approx 5{,}73^\circ, que confirma razoavelmente a validade da aproximação de pequeno ângulo.

Resposta

(a) \displaystyle \theta_{m}=\arcsin\!\Big(\frac{m\lambda}{d}\Big)\quad\text{(exata)}\n \displaystyle \theta_{m}\approx \frac{m\lambda}{d}=0,05\,m\\ \text{rad (para pequenos ângulos)}â\n(b) \displaystyle y_{2}\approx 0,5\\ \text{m}

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