A envoltória central de difração de uma figura de difração por duas fendas contém 13 franjas claras e os primeiros mínimos de difração eliminam (coincidem com) franjas claras. Determine:
a) (1,5) A razão entre d (distância entre as fendas) e a (largura de uma das fendas).
b) (1,0) O número de franjas claras entre o primeiro e o segundo mínimo de difração.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo retirado do enunciado):
  • Informação 1: a envoltória central de difração contém 13 franjas claras.
  • Informação 2: os primeiros mínimos de difração eliminam (coincidem com) franjas claras.
  • Pedidos:
    • (a) Determinar a razão entre d (distância entre as fendas) e a (largura de cada fenda), ou seja, calcular \dfrac{d}{a}.
    • (b) Determinar o número de franjas claras entre o primeiro e o segundo mínimo de difração (interpreto como o número de franjas claras no intervalo angular entre o primeiro mínimo de difração e o segundo mínimo de difração, em um dos lados).

Passo 2

Vamos identificar as relações que ligam máximos de fendas e mínimos de difração, definindo as variáveis com calma (cada símbolo explicado):
  • a: largura de uma das fendas.
  • d: distância entre as duas fendas (separa os centros das fendas).
  • \lambda: comprimento de onda da luz utilizada.
  • \theta: ângulo medido a partir da perpendicular ao conjunto de fendas.
  • m: índice inteiro que marca mínimos de difração da fenda única ( m=\pm1,\pm2,\dots).
  • p (ou k): índice inteiro que marca máximos de interferência entre as duas fendas ( p=0,\pm1,\pm2,\dots).
As fórmulas (explicadas de modo simples):
  • Para mínimos da difração de uma fenda (posições angulares onde a intensidade da envoltória é zero), vale
a\sin\theta = m\lambda,\qquad m=\pm1,\pm2,\ldots
Isto significa: quando a largura a multiplica \sin\theta dá um múltiplo inteiro de \lambda, há mínimo da envoltória.
  • Para máximos de interferência entre as duas fendas (franjas claras produzidas pela interferência), vale
d\sin\theta = p\lambda,\qquad p=0,\pm1,\pm2,\ldots
Isto significa: quando a diferença de caminho entre as duas fendas corresponde a um múltiplo inteiro de \lambda, há máxima de interferência (franja clara).
Explicação intuitiva: os mínimos da fenda única definem uma “envoltória” que apaga certas máximas de interferência quando as posições angulares coincidem.

Passo 3

Traduzindo a frase do enunciado “os primeiros mínimos de difração eliminam franjas claras”: isso diz que o primeiro mínimo de difração (com m=1 em magnitude) ocorre exatamente no mesmo ângulo em que existe uma máxima de interferência de alguma ordem inteira k. Em símbolos, para o primeiro mínimo achamos um ângulo \theta_1 tal que
a\sin\theta_1 = 1\cdot\lambda = \lambda
e, ao mesmo tempo, exista um inteiro k com
d\sin\theta_1 = k\lambda.
Dividindo as duas igualdades (uma pela outra) para eliminar \sin\theta_1 e \lambda, obtemos uma relação simples:
\frac{d}{a} = k.
Ou seja: quando o primeiro mínimo coincide com uma franja clara, a razão \dfrac{d}{a} é exatamente um número inteiro k. Esse inteiro k é a ordem da máxima de interferência que está sendo eliminada pelo mínimo.

Passo 4

Agora usamos a informação “a envoltória central contém 13 franjas claras”. Interpretando isso com cuidado: a envoltória central é o intervalo angular entre o primeiro mínimo negativo ( m=-1) e o primeiro mínimo positivo ( m=+1). Dentro dessa região central ficam as franjas de interferência cujos índices p vão de -k até +k, sendo que as franjas nas extremidades ( p=\pm k) coincidem com os mínimos e por isso são eliminadas. O número total de máximos possíveis entre os mínimos (contando de -k a +k) seria 2k+1 se nenhum fosse eliminado. Como o enunciado diz que a envoltória central “contém 13 franjas claras”, isso significa que, efetivamente, dentro dessa região observam-se 13 franjas claras visíveis. O modo padrão de interpretar essa contagem é que os índices de máximos visíveis são os inteiros de -k até +k, totalizando
2k+1 = 13.
Resolvendo para k:
2k+1 = 13 \quad\Rightarrow\quad 2k = 12 \quad\Rightarrow\quad k = 6.

Passo 5

Retornando à fórmula do Passo 3, onde \dfrac{d}{a}=k, e usando k=6 obtido no passo anterior, temos diretamente a razão pedida:
\frac{d}{a} = 6.
Isso responde a parte (a). Intuição rápida: a primeira ordem de máxima que é apagada é a de ordem p=6 (em cada lado), portanto há 6 máximos de cada lado mais o central, totalizando 13.

Passo 6

Agora vamos contar quantas franjas claras existem entre o primeiro e o segundo mínimo de difração (pedido b). Procedimento:
  • No primeiro mínimo (o de ordem m=1), visto no Passo 3, o índice da máxima de interferência que coincide é p = \dfrac{d}{a} = 6. Assim, nessa posição angular a máxima de ordem p=6 é eliminada.
  • No segundo mínimo (o de ordem m=2), aplicando a condição do mínimo a\sin\theta_2 = 2\lambda e a condição do máximo d\sin\theta_2 = p\lambda, obtemos
p = \frac{d\sin\theta_2}{\lambda} = \frac{d}{a}\cdot 2 = 2\cdot\frac{d}{a} = 2\cdot 6 = 12.
Ou seja, o máximo de ordem p=12 coincide com o segundo mínimo e também é eliminado.
  • As franjas claras cujo índice p está estritamente entre 6 e 12 (ou seja, p=7,8,9,10,11) ficam localizadas entre o primeiro e o segundo mínimo e não são eliminadas. Então o número de franjas claras entre o primeiro e o segundo mínimo, em um lado (entre m=1 e m=2) é simplesmente a contagem dos inteiros de 7 até 11, que é
11-7+1 = 5.

Passo 7

Resumo final dos resultados obtidos:
  • (a) \dfrac{d}{a}=6.
  • (b) Há 5 franjas claras entre o primeiro e o segundo mínimo de difração (em um dos lados).
Vai dar tudo certo na prova — memorize a ideia chave: mínimos da fenda única têm a\sin\theta=m\lambda e máximos de duas fendas têm d\sin\theta=p\lambda; quando um mínimo coincide com um máximo, \dfrac{d}{a} é inteiro, e a contagem dentro da envoltória segue 2k+1.

Resposta

\dfrac{d}{a}=6
5

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