A envoltória central de difração de uma figura de difração por duas fendas contém 13 franjas claras e os primeiros mínimos de difração eliminam (coincidem com) franjas claras. Determine:
a)
A razão entre d (distância entre as fendas) e a (largura de uma das fendas).
b)
O número de franjas claras entre o primeiro e o segundo mínimo de difração.
a)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo retirado do enunciado):
- Informação 1: a envoltória central de difração contém
franjas claras. - Informação 2: os primeiros mínimos de difração eliminam (coincidem com) franjas claras.
- Pedidos:
- (a) Determinar a razão entre
(distância entre as fendas) e (largura de cada fenda), ou seja, calcular . - (b) Determinar o número de franjas claras entre o primeiro e o segundo mínimo de difração (interpreto como o número de franjas claras no intervalo angular entre o primeiro mínimo de difração e o segundo mínimo de difração, em um dos lados).
- (a) Determinar a razão entre
Passo 2
Vamos identificar as relações que ligam máximos de fendas e mínimos de difração, definindo as variáveis com calma (cada símbolo explicado):
-
: largura de uma das fendas. -
: distância entre as duas fendas (separa os centros das fendas). -
: comprimento de onda da luz utilizada. -
: ângulo medido a partir da perpendicular ao conjunto de fendas. -
: índice inteiro que marca mínimos de difração da fenda única ( ). -
(ou ): índice inteiro que marca máximos de interferência entre as duas fendas ( ).
As fórmulas (explicadas de modo simples):
- Para mínimos da difração de uma fenda (posições angulares onde a intensidade da envoltória é zero), vale
Isto significa: quando a largura
multiplica
dá um múltiplo inteiro de
, há mínimo da envoltória.
- Para máximos de interferência entre as duas fendas (franjas claras produzidas pela interferência), vale
Isto significa: quando a diferença de caminho entre as duas fendas corresponde a um múltiplo inteiro de
, há máxima de interferência (franja clara).
Explicação intuitiva: os mínimos da fenda única definem uma “envoltória” que apaga certas máximas de interferência quando as posições angulares coincidem.
Passo 3
Traduzindo a frase do enunciado “os primeiros mínimos de difração eliminam franjas claras”: isso diz que o primeiro mínimo de difração (com
em magnitude) ocorre exatamente no mesmo ângulo em que existe uma máxima de interferência de alguma ordem inteira
. Em símbolos, para o primeiro mínimo achamos um ângulo
tal que
e, ao mesmo tempo, exista um inteiro
com
Dividindo as duas igualdades (uma pela outra) para eliminar
e
, obtemos uma relação simples:
Ou seja: quando o primeiro mínimo coincide com uma franja clara, a razão
é exatamente um número inteiro
. Esse inteiro
é a ordem da máxima de interferência que está sendo eliminada pelo mínimo.
Passo 4
Agora usamos a informação “a envoltória central contém
franjas claras”. Interpretando isso com cuidado: a envoltória central é o intervalo angular entre o primeiro mínimo negativo (
) e o primeiro mínimo positivo (
). Dentro dessa região central ficam as franjas de interferência cujos índices
vão de
até
, sendo que as franjas nas extremidades (
) coincidem com os mínimos e por isso são eliminadas. O número total de máximos possíveis entre os mínimos (contando de
a
) seria
se nenhum fosse eliminado. Como o enunciado diz que a envoltória central “contém
franjas claras”, isso significa que, efetivamente, dentro dessa região observam-se
franjas claras visíveis. O modo padrão de interpretar essa contagem é que os índices de máximos visíveis são os inteiros de
até
, totalizando
Resolvendo para
:
Passo 5
Retornando à fórmula do Passo 3, onde
, e usando
obtido no passo anterior, temos diretamente a razão pedida:
Isso responde a parte (a). Intuição rápida: a primeira ordem de máxima que é apagada é a de ordem
(em cada lado), portanto há
máximos de cada lado mais o central, totalizando
.
Passo 6
Agora vamos contar quantas franjas claras existem entre o primeiro e o segundo mínimo de difração (pedido b). Procedimento:
- No primeiro mínimo (o de ordem
), visto no Passo 3, o índice da máxima de interferência que coincide é . Assim, nessa posição angular a máxima de ordem é eliminada. - No segundo mínimo (o de ordem
), aplicando a condição do mínimo e a condição do máximo , obtemos
Ou seja, o máximo de ordem
coincide com o segundo mínimo e também é eliminado.
- As franjas claras cujo índice
está estritamente entre e (ou seja, ) ficam localizadas entre o primeiro e o segundo mínimo e não são eliminadas. Então o número de franjas claras entre o primeiro e o segundo mínimo, em um lado (entre e ) é simplesmente a contagem dos inteiros de até , que é
Passo 7
Resumo final dos resultados obtidos:
- (a)
. - (b) Há
franjas claras entre o primeiro e o segundo mínimo de difração (em um dos lados).
Vai dar tudo certo na prova — memorize a ideia chave: mínimos da fenda única têm
e máximos de duas fendas têm
; quando um mínimo coincide com um máximo,
é inteiro, e a contagem dentro da envoltória segue
.
Resposta
5