Um objeto e uma tela são mantidos em uma distância fixa
. Uma lente convergente, de distância focal
, é colocada entre o objeto e a tela e forma uma imagem real na tela. Determine:
a)
Os valores possíveis
para a posição do objeto (que formam essa imagem real).
b)
A razão entre as ampliações laterais
,
correspondentes aos valores do item a).
a)
b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Distância fixa entre objeto e tela:
. - Lente convergente com distância focal
. - A lente forma uma imagem real sobre a tela (logo a imagem está na posição do foco imagem na tela).
- Distância fixa entre objeto e tela:
- O que o enunciado pede:
- (a) Determinar os valores possíveis
para a posição do objeto (distância objeto-lente) que resultam na imagem real na tela. - (b) Determinar a razão entre as ampliações laterais
correspondentes a esses .
- (a) Determinar os valores possíveis
Passo 2
Relembrando a fórmula fundamental (fórmula das lentes finas) e o significado das variáveis — isso é essencial para montar a equação:
onde:
-
é a distância focal da lente (positiva para lente convergente), -
é a distância do objeto até a lente (medida a partir da lente), -
é a distância da imagem até a lente (medida a partir da lente).
Como o enunciado diz que o objeto e a tela (onde está a imagem) ficam a distância fixa
, vale:
Como a imagem é real e forma-se sobre a tela, ambos
e
são positivos (usando convenção usual: distâncias medidas no mesmo sentido e para imagem real
).
Passo 3
Substituir
na fórmula da lente para obter uma equação só em
. Parto de
Substituindo os valores numéricos conhecidos:
e
. Primeiro calcule
:
Então a equação fica
Passo 4
Resolver a equação em
. Coloco as frações sobre o mesmo denominador:
Igualando a
:
Inverto ambos os lados ou multiplico em cruz:
Calculo o lado direito:
Logo
Reescrevendo em forma padrão:
Fatorando o polinômio:
Portanto as soluções são
Passo 5
Interpretação física rápida dos dois resultados:
- Se
então . - Se
então .
São duas posições da lente relativas ao objeto/tela que produzem imagem na tela — isso é típico: para um dado conjunto lente+distância objeto-tela fixa, pode existir dupla posição da lente (ou do objeto) que forma imagem nítida na tela (uma com objeto perto da lente e imagem mais distante, outra invertida).
Passo 6
Agora a ampliação lateral (ou magnificação linear) para lentes finas é dada por
onde:
-
é a ampliação lateral (sinal negativo indica que a imagem está invertida em relação ao objeto), -
é a distância imagem-lente, é a distância objeto-lente.
Calculo as ampliações para cada caso:
- Para
e : - Para
e :
Passo 7
Finalmente, a razão pedida entre as ampliações
e
:
Note que os sinais negativos se cancelam, então a razão é positiva e igual a
: a primeira situação produz uma imagem
vezes maior (em módulo) que a segunda.
Resposta
a)
e
b)
b)