Um objeto e uma tela são mantidos em uma distância fixa \mathrm{D}=5 \mathrm{~cm}. Uma lente convergente, de distância focal \mathrm{f}=0,8 \mathrm{~cm}, é colocada entre o objeto e a tela e forma uma imagem real na tela. Determine:
a) (1,5) Os valores possíveis p_{1}, p_{2} para a posição do objeto (que formam essa imagem real).
b) (1,0) A razão entre as ampliações laterais m_{1}, m_{2} correspondentes aos valores do item a).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Distância fixa entre objeto e tela: D=5\\ \text{cm}.
    • Lente convergente com distância focal f=0,8\\ \text{cm}.
    • A lente forma uma imagem real sobre a tela (logo a imagem está na posição do foco imagem na tela).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determinar os valores possíveis p_{1},p_{2} para a posição do objeto (distância objeto-lente) que resultam na imagem real na tela.
    • (b) Determinar a razão entre as ampliações laterais m_{1},m_{2} correspondentes a esses p_{1},p_{2}.

Passo 2

Relembrando a fórmula fundamental (fórmula das lentes finas) e o significado das variáveis — isso é essencial para montar a equação:
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q},
onde:
  • f é a distância focal da lente (positiva para lente convergente),
  • p é a distância do objeto até a lente (medida a partir da lente),
  • q é a distância da imagem até a lente (medida a partir da lente).
Como o enunciado diz que o objeto e a tela (onde está a imagem) ficam a distância fixa D, vale:
p+q=D.
Como a imagem é real e forma-se sobre a tela, ambos p e q são positivos (usando convenção usual: distâncias medidas no mesmo sentido e para imagem real q>0).

Passo 3

Substituir q=D-p na fórmula da lente para obter uma equação só em p. Parto de
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{p}+\frac{1}{D-p}.
Substituindo os valores numéricos conhecidos: f=0,8\\ \text{cm} e D=5\\ \text{cm}. Primeiro calcule \dfrac{1}{f}:
\frac{1}{f}=\frac{1}{0,8}=1{,}25.
Então a equação fica
1{,}25=\frac{1}{p}+\frac{1}{5-p}.

Passo 4

Resolver a equação em p. Coloco as frações sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{p}+\frac{1}{5-p}=\frac{(5-p)+p}{p(5-p)}=\frac{5}{p(5-p)}.
Igualando a 1{,}25:
1{,}25=\frac{5}{p(5-p)}.
Inverto ambos os lados ou multiplico em cruz:
p(5-p)=\frac{5}{1{,}25}.
Calculo o lado direito:
\frac{5}{1{,}25}=4.
Logo
p(5-p)=4 \quad\Rightarrow\quad 5p-p^{2}=4.
Reescrevendo em forma padrão:
p^{2}-5p+4=0.
Fatorando o polinômio:
(p-1)(p-4)=0.
Portanto as soluções são
p=1\\ \text{cm}\quad\text{ou}\quad p=4\\ \text{cm}.

Passo 5

Interpretação física rápida dos dois resultados:
  • Se p=1\\ \text{cm} então q=D-p=5-1=4\\ \text{cm}.
  • Se p=4\\ \text{cm} então q=D-p=5-4=1\\ \text{cm}.
São duas posições da lente relativas ao objeto/tela que produzem imagem na tela — isso é típico: para um dado conjunto lente+distância objeto-tela fixa, pode existir dupla posição da lente (ou do objeto) que forma imagem nítida na tela (uma com objeto perto da lente e imagem mais distante, outra invertida).

Passo 6

Agora a ampliação lateral (ou magnificação linear) para lentes finas é dada por
m=-\frac{q}{p},
onde:
  • m é a ampliação lateral (sinal negativo indica que a imagem está invertida em relação ao objeto),
  • q é a distância imagem-lente, p é a distância objeto-lente.
Calculo as ampliações para cada caso:
  • Para p_{1}=1\\ \text{cm} e q_{1}=4\\ \text{cm}: m_{1}=-\frac{q_{1}}{p_{1}}=-\frac{4}{1}=-4.
  • Para p_{2}=4\\ \text{cm} e q_{2}=1\\ \text{cm}: m_{2}=-\frac{q_{2}}{p_{2}}=-\frac{1}{4}=-0{,}25.

Passo 7

Finalmente, a razão pedida entre as ampliações m_{1} e m_{2}:
\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{-4}{-0{,}25}=16.
Note que os sinais negativos se cancelam, então a razão é positiva e igual a 16: a primeira situação produz uma imagem 16 vezes maior (em módulo) que a segunda.

Resposta

a) p_{1}=1\\ \text{cm} e p_{2}=4\\ \text{cm}
b) \dfrac{m_{1}}{m_{2}}=16

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