No experimento de Young, o espaçamento angular \theta entre os máximos adjacentes (franjas claras) é dado por \sin \theta \approx \theta=\lambda / d. Se a distância das fendas é mantida constante, mas o comprimento de onda da luz é duplicado, como isso afeta o espaçamento angular das franjas?

Passo 1

O enunciado dá a relação entre o espaçamento angular entre franjas claras adjacentes e os parâmetros do arranjo de Young: \sin\theta\approx\theta=\lambda/d.
O que é pedido: se a distância entre as fendas d é mantida constante e o comprimento de onda \lambda é duplicado, como isso afeta o espaçamento angular \theta das franjas?
Informações relevantes fornecidas:
  • Relação fornecida entre as variáveis: \sin\theta\approx\theta=\lambda/d.
  • Mantém-se d= constante.
  • Passa-se de \lambda para \lambda' = 2\lambda.

Passo 2

Entendendo a fórmula e o que cada símbolo significa (aula rápida e sem pressa).
  • \lambda é o comprimento de onda da luz utilizada (unidade: metros).
  • d é a separação entre as duas fendas (unidade: metros).
  • \theta é o ângulo, medido a partir da direção central, até uma franja clara (unidade: radianos).
    A origem dessa relação: as franjas de interferência satisfazem a condição de máximos
d\sin\theta_m = m\lambda,
onde m é um número inteiro que identifica a ordem do máximo ( m=0 máximo central, m=\pm1 primeiros máximos, etc.). Para dois máximos adjacentes ( m e m+1) a diferença angular \Delta\theta=\theta_{m+1}-\theta_m satisfaz, usando a aproximação de ângulo pequeno,
d(\theta_{m+1}-\theta_m)\approx d\,\Delta\theta \approx \lambda,
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\Delta\theta \approx \frac{\lambda}{d}.
O enunciado chama essa diferença de \theta, então podemos usar diretamente
\theta \approx \frac{\lambda}{d}.
Breve justificativa da aproximação \sin\theta\approx\theta: para \theta pequeno (em radianos), a série de Taylor dá \sin\theta=\theta-\theta^3/6+\cdots, então termos de ordem superior são desprezíveis quando \theta\ll 1. Em experimentos de Young típicos \theta é bem pequeno, então a aproximação é válida.

Passo 3

Aplicando a mudança de \lambda. Se inicialmente
\theta_{\text{inicial}} \approx \frac{\lambda}{d},
e a nova onda tem \lambda' = 2\lambda, então a nova separação angular é
\theta_{\text{novo}} \approx \frac{\lambda'}{d} = \frac{2\lambda}{d} = 2\left(\frac{\lambda}{d}\right).
Portanto
\theta_{\text{novo}} = 2\,\theta_{\text{inicial}}.

Passo 4

Interpretação física simples e exemplo numérico concreto (para fixar a intuição).
Interpretação: duplicar o comprimento de onda, mantendo d fixo, dobra a separação angular entre franjas; as franjas ficam duas vezes mais “espalhadas” em ângulo.
Exemplo numérico rápido (fácil de calcular na prova): escolha \lambda=500 nm =5\!\times\!10^{-7} m e d=0{,}5 mm =5\!\times\!10^{-4} m. Então
\theta_{\text{inicial}}\approx\frac{5\!\times\!10^{-7}}{5\!\times\!10^{-4}}=1{,}0\!\times\!10^{-3}\\ \text{rad}.
Se \lambda dobra,
\theta_{\text{novo}}\approx 2{,}0\!\times\!10^{-3}\\ \text{rad},
exatamente o dobro. Observação prática: se houver uma tela a distância L do sistema, o espaçamento linear entre franjas na tela é y=L\theta (para ângulos pequenos), então esse espaçamento linear também dobra.

Passo 5

Validação da aproximação: a conclusão \theta_{\text{novo}}=2\theta_{\text{inicial}} usa a aproximação de ângulo pequeno. Se \lambda/d não for pequeno (situação rara em arranjos clássicos de Young), deve-se usar \sin\theta=\lambda/d sem aproximar e resolver numericamente; mesmo assim, duplicar \lambda aumenta \sin\theta em fator 2, e a tendência de aumento do ângulo persiste (mas a relação exata entre os ângulos não seria simplesmente fator 2 se os ângulos deixarem de ser pequenos).

Resposta

\theta_{\text{novo}}=2\,\theta_{\text{inicial}}. Portanto, o espaçamento angular das franjas dobra.

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