Um ponto P no padrão de interferência da fenda dupla possui uma diferença de caminho de \Delta r=3,5 \mu \mathrm{~m} entre os raios. Se o comprimento de onda da luz utilizada é \lambda=500 \mathrm{~nm}, qual é o resultado da interferência no ponto P ?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pergunta o que segue:
  • Diferença de caminho: \Delta r = 3{,}5\\ \mu\mathrm{m}.
  • Comprimento de onda da luz: \lambda = 500\\ \mathrm{nm}.
  • Pergunta: qual é o resultado da interferência no ponto P? (ou seja: interfere construtiva, destrutiva, qual fase relativa, e se for possível a intensidade relativa).

Passo 2

Entendendo a relação entre diferença de caminho e interferência (aula curta e direta).
  • Quando duas ondas coerentes chegam a um ponto com diferença de caminho \Delta r, a diferença de fase \varphi entre elas é proporcional a \Delta r. A fórmula é:
\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta r.
Aqui \varphi é a diferença de fase em radianos, \lambda é o comprimento de onda e \Delta r é a diferença de caminho.
  • Condições usuais:
    • Interferência construtiva (máximo brilhante): \Delta r = m\lambda com m inteiro (então \varphi = 2\pi m, múltiplo inteiro de 2\pi).
    • Interferência destrutiva (mínimo escuro): \Delta r = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda (então \varphi = (2m+1)\pi, múltiplo ímpar de \pi).
      Explicação intuitiva: se chegam com fase igual ( \varphi múltiplo de 2\pi) as ondas somam, dando máximo; se chegam com fase oposta ( \varphi ímpar vezes \pi) se cancelam.

Passo 3

Converter unidades e calcular o número de comprimentos de onda contidos em \Delta r.
  • Primeiro converter \Delta r para nanômetros para comparar com \lambda:
\Delta r = 3{,}5\\ \mu\mathrm{m} = 3{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{nm} = 3500\\ \mathrm{nm}.
  • Calcular a razão \dfrac{\Delta r}{\lambda}:
\frac{\Delta r}{\lambda}=\frac{3500\\ \mathrm{nm}}{500\\ \mathrm{nm}}=7.
Logo \Delta r = 7\lambda, isto é, é um múltiplo inteiro de \lambda com m=7.

Passo 4

Interpretar o resultado numérico segundo as condições de interferência.
  • Como \Delta r = 7\lambda e 7 é um inteiro, a condição de interferência construtiva é satisfeita.
  • Portanto as ondas chegam em fase no ponto P, produzindo um máximo (franja brilhante).

Passo 5

Calcular a diferença de fase para confirmar e mostrar o uso da fórmula.
  • Usando \varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}\,\Delta r:
\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta r = 2\pi\cdot\frac{\Delta r}{\lambda} = 2\pi\cdot 7 = 14\pi.
  • 14\pi é múltiplo de 2\pi (pois 14\pi = 7\cdot 2\pi), então as ondas estão em fase (diferença de fase equivalente a zero módulo 2\pi), confirmando interferência construtiva.

Passo 6

Intensidade resultante (fórmula e explicação didática).
  • Para duas ondas de mesma amplitude E_0 chegando com diferença de fase \varphi, a amplitude resultante é 2E_0\cos(\varphi/2) e a intensidade (proporcional ao quadrado da amplitude) é
I = 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\varphi}{2}\right),
onde I_0 é a intensidade produzida por uma única fenda (ou por uma das ondas isoladas).
  • No nosso caso \varphi = 14\pi, então
\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)=\cos(7\pi)=\cos(\pi\cdot7)=(-1)^7=-1,
e
\cos^2(7\pi)=1.
  • Portanto a intensidade no ponto P é
I = 4I_0,
isto é, máxima (as amplitudes se somam perfeitamente).

Passo 7

Resumo final e dica de prova (curta e prática).
  • Resultado prático: como \Delta r é múltiplo inteiro de \lambda, o ponto P é uma franja brilhante (interferência construtiva) com intensidade máxima relativa I=4I_0 (para duas ondas de mesma amplitude).
  • Dica rápida para prova: sempre calcule \dfrac{\Delta r}{\lambda}. Se der inteiro -> máximo; se der inteiro + 1/2 -> mínimo; caso contrário, avalia \varphi=2\pi\Delta r/\lambda e use \cos^2(\varphi/2) para intensidade relativa.

Resposta

Interferência construtiva (máximo), pois \Delta r=7\lambda. Intensidade relativa no ponto: I=4I_0.

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