No Experimento de Young, a luz de duas fendas atinge um ponto P na tela. A amplitude do campo elétrico de cada onda no ponto P é E. Se a diferença de fase entre as ondas é \Delta \varphi=120^{\circ} ( 2 \pi / 3 radianos), qual é a amplitude resultante E_{\text {res }} no ponto P ?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar claramente os dados e a pergunta):
  • Cada uma das duas ondas que chegam ao ponto P tem amplitude igual a E.
  • A diferença de fase entre as duas ondas é \Delta\varphi = 120^\circ = \dfrac{2\pi}{3} radianos.
  • Pergunta: qual é a amplitude resultante E_{\text{res}} no ponto P?

Passo 2

Entendendo o que significa somar as ondas (intuição física e matemática).
  • Cada onda harmônica pode ser representada por um vetor complexo (phasor) que contém a amplitude e a fase. Somar duas ondas harmônicas no mesmo ponto é somar esses vetores (phasors).
  • A amplitude resultante é o módulo (valor absoluto) da soma vetorial desses dois phasors. Não confundir amplitude com intensidade: intensidade escala com o quadrado da amplitude, mas aqui queremos a amplitude resultante.

Passo 3

Representação matemática em phasors (escolhendo uma referência de fase).
  • Posso escolher a fase da primeira onda como zero, sem perda de generalidade. Então as duas ondas são representadas pelos phasors
E_1 = E\cdot e^{i\cdot 0}=E, \qquad E_2 = E\cdot e^{i\Delta\varphi}.
  • A soma complexa é
E_{\text{tot}} = E_1+E_2 = E\bigl(1+e^{i\Delta\varphi}\bigr).
  • A amplitude resultante E_{\text{res}} é o módulo dessa soma:
E_{\text{res}} = \bigl|E_{\text{tot}}\bigr| = E\bigl|1+e^{i\Delta\varphi}\bigr|.

Passo 4

Simplificar \bigl|1+e^{i\Delta\varphi}\bigr| usando identidades trigonométricas.
  • Uma maneira direta é usar a identidade de soma de exponenciais:
1+e^{i\Delta\varphi}=e^{i\Delta\varphi/2}\bigl(e^{-i\Delta\varphi/2}+e^{i\Delta\varphi/2}\bigr) =2e^{i\Delta\varphi/2}\cos\!\bigl(\tfrac{\Delta\varphi}{2}\bigr).
  • Tomando o módulo (o fator de fase e^{i\Delta\varphi/2} tem módulo 1), obtemos
\bigl|1+e^{i\Delta\varphi}\bigr| = 2\bigl|\cos\!\bigl(\tfrac{\Delta\varphi}{2}\bigr)\bigr|.
  • Portanto
E_{\text{res}} = 2E\bigl|\cos\!\bigl(\tfrac{\Delta\varphi}{2}\bigr)\bigr|.

Passo 5

Aplicar ao caso \Delta\varphi = 120^\circ = \dfrac{2\pi}{3}.
  • Calculemos \dfrac{\Delta\varphi}{2} = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ (ou \dfrac{\pi}{3} rad).
  • Sabemos que \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}. Logo
E_{\text{res}} = 2E\bigl|\cos 60^\circ\bigr| = 2E\cdot \dfrac{1}{2} = E.
  • O valor absoluto não altera o sinal aqui porque \cos 60^\circ é positivo.

Passo 6

Verificação alternativa (lei dos cossenos — interpretação geométrica).
  • Se preferir ver geometricamente, ao somar dois vetores de mesmo comprimento E com ângulo entre eles \Delta\varphi, a magnitude resultante ao quadrado é
E_{\text{res}}^2 = E^2 + E^2 + 2E^2\cos\Delta\varphi = 2E^2(1+\cos\Delta\varphi).
  • Usando a identidade 1+\cos\Delta\varphi = 2\cos^2(\tfrac{\Delta\varphi}{2}) obtemos novamente
E_{\text{res}}^2 = 4E^2\cos^2\!\bigl(\tfrac{\Delta\varphi}{2}\bigr),
ou seja E_{\text{res}}=2E|\cos(\tfrac{\Delta\varphi}{2})|, que para \Delta\varphi=120^\circ E_{\text{res}}=E. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

E_{\text{res}} = E

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