Experimentos indicam que, para um range finito de temperaturas, um deslocamento
em um filamento requer uma força
onde
, e
são constantes. Ainda, sua capacidade calorífica a deslocamento constante é proporcional a
, ou seja,
. Mostre que, de fato,
é independente de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um filamento onde, dentro de um certo intervalo de temperaturas, para deslocar uma distância $ x $, é necessário aplicar uma força dada por:
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são constantes. Além disso, a capacidade calorífica a deslocamento constante é proporcional à temperatura, ou seja:
O que a questão quer é que a gente mostre que $ A $ não depende de $ x $, ou seja, $ A $ é uma constante.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre como a capacidade calorífica se relaciona com outras variáveis do sistema. Vamos precisar entender relações entre derivadas parciais e propriedades termodinâmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é capacidade calorífica a deslocamento constante, $ C_{x} $. Em termodinâmica, a capacidade calorífica a uma variável constante (como $ x $) é a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura do sistema em uma unidade, mantendo $ x $ constante.
Matematicamente, isso é dado por:
Onde $ Q $ é o calor fornecido ao sistema.
Passo 3
Agora, vamos relacionar a força $ J $ com a energia interna do sistema. Sabemos que a força está relacionada ao potencial termodinâmico, que neste caso pode ser pensado como a energia interna $ U $.
A força $ J $ pode ser expressa como a derivada da energia interna em relação ao deslocamento $ x $:
Isso significa que a mudança na energia interna em função de $ x $, mantendo a temperatura $ T $ constante, nos dá a força necessária.
Passo 4
Vamos usar essa relação para encontrar uma expressão para $ U $. Integrando $ J $ em relação a $ x $, temos:
Onde $ f(T) $ é uma função que depende apenas de $ T $, já que a integração é em relação a $ x $.
Substituindo a expressão de $ J $:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar a energia interna $ U $ com a capacidade calorífica $ C_{x} $. Sabemos que:
Vamos calcular essa derivada usando a expressão de $ U $ que encontramos:
Derivando em relação a $ T $ mantendo $ x $ constante:
Portanto:
Passo 6
Sabemos também que $ C_{x} = A(x) T $. Então, igualando as duas expressões para $ C_{x} $:
Aqui, temos que a parte que depende de $ x $ está do lado esquerdo multiplicada por $ T $, e do lado direito temos termos que são polinomiais em $ x $ e uma função de $ T $.
Para que essa igualdade seja verdadeira para qualquer $ T $ e $ x $, os termos que dependem de $ x $ devem se igualar a zero, pois não há correspondência no lado esquerdo a não ser o $ A(x) T $.
Isso implica que:
Passo 7
Resolvendo a equação $ -b x + \frac{c}{2} x^{2} = 0 $:
Fatorando $ x $:
Para que essa expressão seja zero para qualquer $ x $, os coeficientes devem ser nulos:
Isso implica que:
No entanto, isso só seria válido para um valor específico de $ x $, o que contradiz a afirmação de que a igualdade deve valer para qualquer $ x $. A única maneira de resolver isso é que os coeficientes $ b $ e $ c $ sejam tais que $ c = 0 $ ou $ b = 0 $, mas isso não é necessariamente o caso dado na questão.
A única solução geral para que $ A(x) $ seja independente de $ x $ é que os termos que dependem de $ x $ no lado direito da equação se anulem, ou seja, $ b = c = 0 $. Assim, a expressão para $ C_{x} $ se reduz a:
Como $ C_{x} = A(x) T $, temos que $ A(x) $ deve ser uma constante, já que $ f’(T) $ depende apenas de $ T $.
Resposta
Portanto, $ A $ é realmente independente de $ x $, sendo uma constante.