Explain why each function is continuous or discontinuous.
(c) The altitude above sea level as a function of the distance due west from New York City

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a continuidade da função que associa a cada distância de x milhas a oeste de Nova Iorque a altitude em que nos encontramos acima do nível do mar. O conteúdo é o conceito de função contínua no domínio real: lembra que uma função f é contínua em um ponto a se, quando fizermos x bem próximo de a, f(x) fica tão próximo de f(a) quanto quisermos.

Passo 2

Definimos
f\colon [0,\infty)\;\longrightarrow\;\mathbb{R},
onde f(x) é a altitude acima do nível do mar a x milhas a oeste de Nova Iorque. Para verificar a continuidade em um ponto a\ge0, precisamos checar que mudanças pequenas em x produzem mudanças pequenas em f(x).

Passo 3

Fisicamente, conforme você anda lentamente para oeste, o relevo do terreno varia de forma gradual: pequenas deslocações horizontais causam pequenas variações na altitude, seja subindo uma colina ou descendo um vale. Não existe, naquela direção, um “salto” repentino de altitude sem atravessar um trecho no meio que faça a transição.

Passo 4

A única maneira de ter descontinuidade seria se houvesse um paredão vertical perfeito (um “penhasco” de altura finita), em que, ao andar um centímetro, a altitude mudasse centenas de metros num salto. Como isso não ocorre de modo ideal na topografia do terreno, assumimos que não há saltos instantâneos.

Passo 5

Logo, para todo a\ge0 e todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que \lvert x-a\rvert<\delta implica \lvert f(x)-f(a)\rvert<\varepsilon. Isso é precisamente a definição de continuidade.

Resposta

A função é contínua, pois pequenas variações na distância produzem pequenas variações na altitude, sem saltos abruptos.

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