Explica o signifícado físico da Equação de Navier-Stokes.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra explicar o significado físico da Equação de Navier–Stokes.
Conteúdo: mecânica dos fluidos (conservação de momento).
O que vamos precisar:
  • Noções de vetores e derivadas parciais (pra lidar com campos de velocidade e pressão).
  • Segunda lei de Newton (força = massa × aceleração).
  • Entender o que são: aceleração local e convectiva, gradiente de pressão, tensão viscosa e forças externas.

Passo 2

Primeiro, escrevendo a forma geral da Equação de Navier–Stokes para um fluido newtoniano incompressível:
rhol(partial vpartial t + vcdotnabla vr) ;=; -,nabla p ;+; mu,nabla^2v ;+; f
Aqui:
  • é a densidade do fluido.
  • é o campo de velocidade.
  • é a pressão.
  • é a viscosidade dinâmica.
  • são as forças de volume (ex.: gravidade).

Passo 3

Vamos interpretar o LADO ESQUERDO:
  1. : aceleração local – como a velocidade muda no mesmo ponto ao longo do tempo.
  2. : aceleração convectiva – como uma partícula de fluido que se move leva consigo mudanças de velocidade (efeito de transporte).
    Então, multiplicando por , isso é “massa por aceleração” de cada pedacinho de fluido, ou seja, a inércia do fluido tentando resistir a mudanças.

Passo 4

Agora o primeiro termo do LADO DIREITO:

Isso representa a força de pressão por unidade de volume.
– Gradiente de pressão aponta pra onde a pressão decresce mais rápido.
– Se a pressão de um lado é maior, ela empurra o fluido pro lado de pressão menor.

Passo 5

Em seguida,
Isso é a tensão viscosa, modelada como um “termo difusivo” da velocidade:
  • é o Laplaciano, que mede como a velocidade num ponto difere da média em volta.
  • Multiplicando por , a viscosidade, fica a “resistência interna” do fluido: regiões com velocidades diferentes tendem a se igualar, gerando forças de atrito interno.

Passo 6

Por fim, são as forças externas por unidade de volume.
Exemplos comuns:
  • Gravidade: .
  • Forças eletromagnéticas em fluidos condutores.

Resposta

A Equação de Navier–Stokes é simplesmente a Segunda Lei de Newton aplicada a um elemento de fluido: “massa vezes aceleração” (lado esquerdo) se equilibra com
  1. força de pressão ( ),
  2. força viscosa ( ) e
  3. forças externas ( ).
    Ela diz, em linguagem de amigo, que a mudança do movimento de cada pedacinho de fluido rola porque a diferença de pressão empurra, o atrito interno (viscosidade) dissipa diferenças de velocidade e as forças de fora (tipo gravidade) também puxam ou empurram.

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