Explicitando todos os teoremas necessários, calcule o limite das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações dadas:
- A função é a razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - O ponto de interesse é
.
O que se quer: o valor numérico do limite quando
se aproxima de
.
Passo 2
Vou expor os teoremas (ou leis de limite) necessários, com explicações breves e suficientes para usar no cálculo.
Teorema 1 (Leis básicas de limites — soma, produto e constante):
Se e
existem finitos, então valem:
Se
e se
é constante,
Essas leis decorrem diretamente da definição de limite e propriedades da soma e produto de números reais.
Teorema 2 (Limite de potência / continuidade de monômios):
Para qualquer inteiro ,
Para qualquer inteiro
Explicação curta: para
é trivial. Para
usa-se indução e a lei do produto:
e aplica-se a hipótese de indução.
Teorema 3 (Continuidade de polinômios):
Qualquer polinômio é contínuo em todo ponto
, ou seja,
Qualquer polinômio
Justificativa: um polinômio é soma e produto de monômios e constantes; aplicando os Teoremas 1 e 2 obtém-se a conclusão.
Teorema 4 (Limite de quociente / Continuidade de razão de funções):
Se e
com
, então
Se
Em palavras: o quociente tem limite igual ao quociente dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero.
Observação prática: como numerador e denominador são polinômios (funções contínuas), basta verificar que o valor do denominador em
é diferente de zero; então o limite é o quociente dos valores.
Passo 3
Avaliar o numerador em
. Usando o Teorema 3 (continuidade de polinômios), podemos substituir diretamente:
Agora somando os termos passo a passo:
Portanto o numerador vale
quando
.
Passo 4
Avaliar o denominador em
. Novamente por continuidade:
Logo o denominador vale
em
, que é diferente de zero.
Passo 5
Como o numerador tende a
e o denominador tende a
quando
, e o limite do denominador é diferente de zero, podemos aplicar o Teorema 4 (quociente dos limites). Assim: