Explicitando todos os teoremas necessários, calcule o limite das funções abaixo:
\lim _{x \rightarrow-2}\left[\frac{x^{3}-x^{2}-3 x+7}{2 x^{4}-x}\right]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to -2}\left[\frac{x^{3}-x^{2}-3x+7}{2x^{4}-x}\right].
Informações dadas:
  • A função é a razão de dois polinômios: numerador x^{3}-x^{2}-3x+7 e denominador 2x^{4}-x.
  • O ponto de interesse é x\to -2.
O que se quer: o valor numérico do limite quando x se aproxima de -2.

Passo 2

Vou expor os teoremas (ou leis de limite) necessários, com explicações breves e suficientes para usar no cálculo.
Teorema 1 (Leis básicas de limites — soma, produto e constante):
Se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M existem finitos, então valem:
\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = L+M, \qquad \lim_{x\to a} (f(x)\cdot g(x)) = L\cdot M,
e se c é constante,
\lim_{x\to a} (c\cdot f(x)) = c\cdot L.
Essas leis decorrem diretamente da definição de limite e propriedades da soma e produto de números reais.
Teorema 2 (Limite de potência / continuidade de monômios):
Para qualquer inteiro n\ge 1,
\lim_{x\to a} x^{n} = a^{n}.
Explicação curta: para n=1 é trivial. Para n>1 usa-se indução e a lei do produto: x^{n} = x\cdot x^{n-1} e aplica-se a hipótese de indução.
Teorema 3 (Continuidade de polinômios):
Qualquer polinômio P(x) é contínuo em todo ponto a, ou seja,
\lim_{x\to a} P(x) = P(a).
Justificativa: um polinômio é soma e produto de monômios e constantes; aplicando os Teoremas 1 e 2 obtém-se a conclusão.
Teorema 4 (Limite de quociente / Continuidade de razão de funções):
Se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}.
Em palavras: o quociente tem limite igual ao quociente dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero.
Observação prática: como numerador e denominador são polinômios (funções contínuas), basta verificar que o valor do denominador em a é diferente de zero; então o limite é o quociente dos valores.

Passo 3

Avaliar o numerador em x=-2. Usando o Teorema 3 (continuidade de polinômios), podemos substituir diretamente:
\begin{aligned} \text{Numerador em }{-2} &= (-2)^{3} - (-2)^{2} - 3(-2) + 7 \\\ &= -8 - 4 + 6 + 7. \end{aligned}
Agora somando os termos passo a passo:
-8 - 4 = -12, \qquad -12 + 6 = -6, \qquad -6 + 7 = 1.
Portanto o numerador vale 1 quando x=-2.

Passo 4

Avaliar o denominador em x=-2. Novamente por continuidade:
\begin{aligned} \text{Denominador em }{-2} &= 2(-2)^{4} - (-2) \\\ &= 2\cdot 16 + 2 \\\ &= 32 + 2 = 34. \end{aligned}
Logo o denominador vale 34 em x=-2, que é diferente de zero.

Passo 5

Como o numerador tende a 1 e o denominador tende a 34 quando x\to -2, e o limite do denominador é diferente de zero, podemos aplicar o Teorema 4 (quociente dos limites). Assim:
\lim_{x\to -2}\left[\frac{x^{3}-x^{2}-3x+7}{2x^{4}-x}\right] = \frac{1}{34}.

Resposta

\dfrac{1}{34}

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