Explicitando todos os teoremas necessários, calcule o limite das funções abaixo:
\lim _{x \rightarrow 5}\left(-x^{3}+5 x^{2}-20\right)^{7}

Passo 1

O problema pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 5}\left(-x^{3}+5x^{2}-20\right)^{7}.
Informações dadas:
  • A função cuja propriedade é investigada é g(x)=\left(-x^{3}+5x^{2}-20\right)^{7}.
  • O ponto de aproximação é x\to 5.
    O que se quer: avaliar numericamen-te o limite acima.

Passo 2

Teoremas e fatos que vamos usar (explicados de forma direta e com razão):
  1. Teorema (limite de soma e produto): Se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} h(x)=M existem e são finitos, então
\lim_{x\to a} \big(f(x)+h(x)\big)=L+M, \qquad \lim_{x\to a} \big(f(x)\cdot h(x)\big)=L\cdot M,
e para constante c vale \lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot L.
Justificativa curta: essas propriedades seguem das definições de limite e da álgebra das expressões; são ferramentas básicas para combinar limites termo a termo.
  1. Teorema (continuidade de polinômios): Todo polinômio p(x) é contínuo em todo x. Em particular, se p é polinômio então \lim_{x\to a} p(x)=p(a).
    Justificativa curta: o polinômio é obtido por soma e produto das funções identidade x\mapsto x e constantes; identidade e constantes têm limite igual ao valor no ponto, e soma/produto preservam esse comportamento. Logo polinômios são contínuos.
  2. Teorema (potência contínua): Se \lim_{x\to a} u(x)=L existe e é finito e n é inteiro positivo, então
\lim_{x\to a} \big(u(x)\big)^{n}=L^{n}.
Justificativa curta: aplica-se o teorema do produto repetidamente ou a continuidade da função t\mapsto t^{n} em \mathbb{R}.
  1. Teorema (composição com função contínua): Se \lim_{x\to a} u(x)=L e F é contínua em L, então \lim_{x\to a} F(u(x))=F(L).
    Justificativa curta: é a definição de continuidade combinada com limite.
Comentário amistoso: com esses fatos, o roteiro é avaliar primeiro o polinômio interno em x=5 (porque polinômios são contínuos), e depois elevar ao expoente 7.

Passo 3

Aplicando os teoremas ao polinômio interno. Defina
p(x) = -x^{3}+5x^{2}-20.
Pelo teorema da continuidade de polinômios temos
\lim_{x\to 5} p(x) = p(5).
Agora calculamos p(5) termo a termo:
p(5) = -(5)^{3} + 5\cdot(5)^{2} - 20.
Calcule cada potência:
(5)^{2}=25,\qquad (5)^{3}=125.
Substituindo:
p(5) = -125 + 5\cdot 25 - 20.
Calcule 5\cdot 25:
5\cdot 25 = 125.
Portanto
p(5) = -125 + 125 - 20 = -20.
Conclusão intermediária: \displaystyle \lim_{x\to 5}\big(-x^{3}+5x^{2}-20\big) = -20.

Passo 4

Agora aplicamos o teorema da potência/continuidade: como \lim_{x\to 5} p(x) = -20 e a função t\mapsto t^{7} é contínua (expoente inteiro), vale
\lim_{x\to 5} \big(p(x)\big)^{7} = \big(\lim_{x\to 5} p(x)\big)^{7} = (-20)^{7}.
Então reduzimos o problema a calcular (-20)^{7}.

Passo 5

Cálculo de (-20)^{7} (fazer as contas claramente):
  • Observação sobre o sinal: como 7 é ímpar, (-20)^{7}= - (20)^{7}.
  • Agora calcular 20^{7}. Usar 20=2\cdot 10, logo
20^{7} = (2\cdot 10)^{7} = 2^{7}\cdot 10^{7}.
Calcule 2^{7} e 10^{7}:
2^{7}=128,\qquad 10^{7}=10\,000\,000.
Multiplicando:
20^{7}=128\cdot 10\,000\,000 = 1\,280\,000\,000.
Portanto
(-20)^{7} = -1\,280\,000\,000.

Resposta

-1\,280\,000\,000

Exercícios relacionados