Explicitando todos os teoremas necessários, calcule o limite das funções abaixo:
Passo 1
O problema pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A função cuja propriedade é investigada é
. - O ponto de aproximação é
.
O que se quer: avaliar numericamen-te o limite acima.
Passo 2
Teoremas e fatos que vamos usar (explicados de forma direta e com razão):
- Teorema (limite de soma e produto): Se
e existem e são finitos, então
e para constante
vale
.
Justificativa curta: essas propriedades seguem das definições de limite e da álgebra das expressões; são ferramentas básicas para combinar limites termo a termo.
Justificativa curta: essas propriedades seguem das definições de limite e da álgebra das expressões; são ferramentas básicas para combinar limites termo a termo.
-
Teorema (continuidade de polinômios): Todo polinômio
é contínuo em todo . Em particular, se é polinômio então .
Justificativa curta: o polinômio é obtido por soma e produto das funções identidadee constantes; identidade e constantes têm limite igual ao valor no ponto, e soma/produto preservam esse comportamento. Logo polinômios são contínuos. -
Teorema (potência contínua): Se
existe e é finito e é inteiro positivo, então
Justificativa curta: aplica-se o teorema do produto repetidamente ou a continuidade da função
em
.
- Teorema (composição com função contínua): Se
e é contínua em , então .
Justificativa curta: é a definição de continuidade combinada com limite.
Comentário amistoso: com esses fatos, o roteiro é avaliar primeiro o polinômio interno em
(porque polinômios são contínuos), e depois elevar ao expoente
.
Passo 3
Aplicando os teoremas ao polinômio interno. Defina
Pelo teorema da continuidade de polinômios temos
Agora calculamos
termo a termo:
Calcule cada potência:
Substituindo:
Calcule
:
Portanto
Conclusão intermediária:
Passo 4
Agora aplicamos o teorema da potência/continuidade: como
e a função
é contínua (expoente inteiro), vale
Então reduzimos o problema a calcular
.
Passo 5
Cálculo de
(fazer as contas claramente):
- Observação sobre o sinal: como
é ímpar, . - Agora calcular
. Usar , logo
Calcule
e
:
Multiplicando:
Portanto