Explicite as derivadas de a. f(x)=tan x; b. f(x)=cot x ; c. f(x)=sec x ; d. f(x)=cosec x
f(x)=sec (tan x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas das funções trigonométricas básicas tan x, cot x, sec x, csc x e também de uma composição sec(tan x). Vamos usar as regras de derivação: a derivada do quociente (para tan x e cot x), a derivada de 1/cos x e 1/sin x (para sec x e csc x) e, por fim, a regra da cadeia na composição.

Passo 2

Derivada de tan x. Como tan x = sin xcos x, aplicamos a regra do quociente:
ddxl(tan xr) = cos xcdotcos x - sin xcdot(-sin x)cos^2 x = cos^2 x + sin^2 xcos^2 x = 1cos^2 x = sec^2 x

Passo 3

Derivada de cot x. Como cot x = cos xsin x, de novo a regra do quociente:
ddxl(cot xr) = -sin xcdotsin x - cos xcdotcos xsin^2 x = -sin^2 x + cos^2 xsin^2 x = -1sin^2 x = -csc^2 x

Passo 4

Derivada de sec x. Como sec x = 1cos x, usamos a derivação de u^-1:
ddxl(sec xr) = ddxl(cos xr)^-1 = -1cdot(cos x)^-2cdot(-sin x) = sin xcos^2 x = sec x,tan x

Passo 5

Derivada de csc x. Como csc x = 1sin x, análogo ao caso anterior:
ddxl(csc xr) = -1cdot(sin x)^-2cdotcos x = -cos xsin^2 x = -csc x,cot x

Passo 6

Derivada de sec(tan x). Aqui aplicamos a regra da cadeia. Seja u=tan x, então sec(tan x)=sec(u). Temos
ddxl(sec(u)r) = sec(u),tan(u),dudx
Como dudx=ddx(tan x)=sec^2 x, fica
ddxl(sec(tan x)r) = sec(tan x),tan(tan x),sec^2 x

Resposta

(a) ddxl(tan xr)=sec^2 x
(b) ddxl(cot xr)=-csc^2 x
(c) ddxl(sec xr)=sec x,tan x
(d) ddxl(csc xr)=-csc x,cot x
(e) ddxl[sec(tan x)r]=sec(tan x),tan(tan x),sec^2 x

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