(2.) Considere A \xrightarrow{g} B a função para a qual A=\{1,3,4\}, B=\{3,9,12\} e g(x) é o triplo de x, para todo x \in A.
a) Construa o diagrama de flechas da função.
b) Determine D(g), C D(g) e I \bar{m}(g).
c) Determine g(3).
d) Determine x para o qual g(x)=12.

Passo 1

O enunciado nos dá explicitamente:
  • O conjunto domínio A=\{1,3,4\}.
  • O conjunto codomínio B=\{3,9,12\}.
  • A função g é descrita pela regra "o triplo de x" (ou seja, para todo x\in A, g(x)=3x).
O que o problema pede:
a) Construir o diagrama de flechas (mostrar para cada elemento de A qual elemento de B ele aponta).
b) Determinar D(g), C D(g) e I \bar{m}(g).
c) Determinar g(3).
d) Determinar x tal que g(x)=12.

Passo 2

Traduzindo a regra "o triplo de x" para fórmula matemática:
g(x)=3x\quad\text{para todo }x\in A.
Isso significa que, para cada elemento de A, multiplico por 3 para obter o elemento correspondente em B.

Passo 3

Calculemos g em cada elemento de A (fazer isso é o que se faz para construir o diagrama de flechas):
g(1)=3\cdot 1=3,
g(3)=3\cdot 3=9,
g(4)=3\cdot 4=12.

Passo 4

Com esses resultados, o diagrama de flechas (lista de pares ordemados mostrando a imagem de cada elemento) fica:
1\mapsto 3,\qquad 3\mapsto 9,\qquad 4\mapsto 12.
(Isto é o diagrama pedido em (a): cada elemento de A ligado ao seu correspondente em B.)

Passo 5

Agora definindo e respondendo as três coisas de (b):
  • Definição: o domínio D(g) é o conjunto de entrada (os x para os quais g está definida). Pelo enunciado D(g)=A. Portanto
D(g)=\{1,3,4\}.

Passo 6

  • Definição: o contradomínio (codomínio) C D(g) é o conjunto B em que os valores de g “podem” estar segundo a definição da função. Pelo enunciado:
C D(g)=B=\{3,9,12\}.

Passo 7

  • Definição: a imagem I\bar{m}(g) (ou simplesmente \operatorname{Im}(g)) é o conjunto dos valores efetivamente atingidos por g, isto é, \{g(x)\mid x\in D(g)\}. Dos cálculos do Passo 3 vemos que os valores atingidos são 3,9,12. Logo
I\bar{m}(g)=\{3,9,12\}.

Passo 8

Responder (c): já calculamos no Passo 3, mas explico passo a passo para ficar claro como avaliar uma função num ponto. Para calcular g(3) substitui-se x=3 na regra g(x)=3x:
g(3)=3\cdot 3=9.

Passo 9

Responder (d): resolver g(x)=12. Escrevendo a equação com a regra da função:
3x=12.
Para isolar x, divide-se ambos os lados por 3:
x=\frac{12}{3}=4.
Sempre verifique se a solução pertence ao domínio: x=4 está em A, portanto é solução válida. Não há outro x\in A que satisfaça g(x)=12, logo a solução é única em A.

Resposta

a) 1\mapsto 3,\;3\mapsto 9,\;4\mapsto 12
b) D(g)=\{1,3,4\}
C D(g)=\{3,9,12\}
I \bar{m}(g)=\{3,9,12\}
c) g(3)=9
d) x=4

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