(2.) Considere
a função para a qual
,
e
é o triplo de
, para todo
.
a) Construa o diagrama de flechas da função.
b) Determine
e
.
c) Determine
.
d) Determine
para o qual
.
a) Construa o diagrama de flechas da função.
b) Determine
c) Determine
d) Determine
Passo 1
O enunciado nos dá explicitamente:
- O conjunto domínio
. - O conjunto codomínio
. - A função
é descrita pela regra "o triplo de " (ou seja, para todo , ).
O que o problema pede:
a) Construir o diagrama de flechas (mostrar para cada elemento de qual elemento de
ele aponta).
b) Determinar ,
e
.
c) Determinar .
d) Determinar tal que
.
a) Construir o diagrama de flechas (mostrar para cada elemento de
b) Determinar
c) Determinar
d) Determinar
Passo 2
Traduzindo a regra "o triplo de
" para fórmula matemática:
Isso significa que, para cada elemento de
, multiplico por
para obter o elemento correspondente em
.
Passo 3
Calculemos
em cada elemento de
(fazer isso é o que se faz para construir o diagrama de flechas):
Passo 4
Com esses resultados, o diagrama de flechas (lista de pares ordemados mostrando a imagem de cada elemento) fica:
(Isto é o diagrama pedido em (a): cada elemento de
ligado ao seu correspondente em
.)
Passo 5
Agora definindo e respondendo as três coisas de (b):
- Definição: o domínio
é o conjunto de entrada (os para os quais está definida). Pelo enunciado . Portanto
Passo 6
- Definição: o contradomínio (codomínio)
é o conjunto em que os valores de “podem” estar segundo a definição da função. Pelo enunciado:
Passo 7
- Definição: a imagem
(ou simplesmente ) é o conjunto dos valores efetivamente atingidos por , isto é, . Dos cálculos do Passo 3 vemos que os valores atingidos são . Logo
Passo 8
Responder (c): já calculamos no Passo 3, mas explico passo a passo para ficar claro como avaliar uma função num ponto. Para calcular
substitui-se
na regra
:
Passo 9
Responder (d): resolver
. Escrevendo a equação com a regra da função:
Para isolar
, divide-se ambos os lados por
:
Sempre verifique se a solução pertence ao domínio:
está em
, portanto é solução válida. Não há outro
que satisfaça
, logo a solução é única em
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)