Explicite o domínio das funções reais definidas por:
e) f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-3}

Passo 1

O enunciado dá a função real
f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x-3}
e pede que eu explicite o domínio — ou seja, o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão define um número real. Informações relevantes fornecidas:
  • Aparecem uma raiz quadrada \sqrt{x-2}.
  • Aparece uma divisão por x-3.

Passo 2

Condição da raiz quadrada: para que \sqrt{x-2} seja um número real, o radicando x-2 tem de ser não negativo. Escrevo isso como a desigualdade
x-2 \ge 0.
Isso é uma inequação linear simples; somando 2 aos dois lados obtenho
x \ge 2.
Portanto, a raiz impõe que só podemos ter x iguais ou maiores que 2.

Passo 3

Condição da divisão: a expressão \dfrac{\sqrt{x-2}}{x-3} não pode ter divisão por zero. Logo é necessário
x-3 \ne 0,
ou seja
x \ne 3.
Essa é uma exclusão pontual: qualquer x que torne o denominador zero deve ser retirado do domínio.

Passo 4

Agora junto as duas condições. Preciso de todos os x que satisfazem simultaneamente x\ge 2 e x\ne 3. Em palavras: são todos os x maiores ou iguais a 2, exceto o ponto x=3. Em notação de intervalos isso fica
[2,3)\cup(3,\infty).
Em notação por conjuntos:
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\ge 2,\\ x\ne 3\,\}.

Passo 5

Cheque rápido com exemplos (útil para a prova):
  • Para x=2: \sqrt{2-2}=0 e denominador 2-3=-1\neq0, então f(2)=0 está bem definido.
  • Para x=3: denominador 3-3=0, divisão por zero — proibido — então x=3 não pertence ao domínio.
  • Para x=4: \sqrt{4-2}=\sqrt{2} e denominador 1, tudo ok; portanto x=4 pertence ao domínio.

Resposta

[2,3)\cup(3,\infty)

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