Explicite soluções para as equações diferenciais abaixo, explicitando o domínio máximo de definição da solução em cada caso.
y^prime=2 y+e^x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y'=2y+e^x
Esse é um caso típico de equação linear não-homogênea do tipo
y'-2y = e^x
Como os coeficientes 2 e e^x são contínuos em todo R, esperamos solução definida em R.

Passo 2

Colocamos em forma padrão e calculamos o fator integrante
y'-2y = e^x Longrightarrow mu(x)=e^integral(-2),dx=e^-2x

Passo 3

Multiplicamos a equação por mu(x):
e^-2x(y'-2y)=e^-2xe^x=e^-x
O lado esquerdo é exato, pois
ddxl(y,e^-2xr) = e^-2xy' + yl(-2e^-2xr) = e^-2x(y'-2y)

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x:
ddxl(y,e^-2xr)=e^-x Longrightarrow y,e^-2x = integral e^-x,dx = -e^-x + C
Multiplicando por e^2x, vem
y(x) = C,e^2x - e^-xe^2x = C,e^2x - e^x

Resposta

A solução geral é
y(x)=C,e^2x-e^x,
e o domínio máximo de definição é todo R.

Exercícios relacionados