Exercício 2.4.1. Mostre que:
integral d xraiz[3]x(raiz[3]x-1)=3 raiz[3]x+3 ln |raiz[3]x-1|+C.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral dxraiz[3]x,l(raiz[3]x-1r)
O conteúdo da matéria é técnicas de integração por substituição e simplificação de fração racional.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raiz[3]x,
portanto x = t^3 e
dx = 3t^2,dt

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
integral dxraiz[3]x,(raiz[3]x-1) = integral 3t^2,dtt,(t-1) = integral 3t^2t(t-1),dt
Simplificando a fração:
3t^2t(t-1) = 3tt-1

Passo 4

Reescrevemos a fração e integramos:
3tt-1 = 3cdott-1+1t-1 = 3l(1 + 1t-1r)
Logo,
integral 3tt-1,dt = integral l(3 + tfrac3t-1r),dt = 3t + 3lnl|t-1r| + C

Passo 5

Voltando à variável x com t = raiz[3]x, a primitiva fica
3raiz[3]x + 3lnl|raiz[3]x-1r| + C

Resposta

integral dxraiz[3]x,(raiz[3]x-1) = 3raiz[3]x + 3lnl|raiz[3]x-1r| + C

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