Explique o que acontece quando se reduz a amostragem utilizando uma distribuição Student?

Passo 1

O enunciado pergunta o que acontece no comportamento da distribuição t de Student quando diminuímos o tamanho da amostra. O conteúdo envolve graus de liberdade, forma da distribuição e impactos em estimativas e testes de hipóteses.

Passo 2

Lembre que a distribuição de Student com n observações tem graus de liberdade \nu = n - 1. Ela aparece quando estimamos a média de uma população normal desconhecida usando a estatística
T = \frac{\bar X - \mu}{S/\sqrt{n}},
onde \bar X é a média amostral e S é o desvio-padrão amostral.

Passo 3

Ao reduzir n, os graus de liberdade \nu diminuem. Isso altera a forma da curva de densidade de T: as caudas ficam mais “pesadas”, ou seja, a probabilidade de valores extremos aumenta. Visualmente, o pico central baixa e as caudas se estendem.

Passo 4

Especificamente, a variância da t de Student é
\mathrm{Var}(T) = \frac{\nu}{\nu - 2} \quad(\nu>2).
Quando \nu é pequeno, \mathrm{Var}(T) cresce muito, refletindo maior incerteza. Por exemplo, para \nu=5 temos \mathrm{Var}(T)=5/3\approx1,67, mas quando \nu\to\infty a variância tende a 1 (caso da normal padrão).

Passo 5

Na prática, isso significa que os valores críticos t_{1-\alpha/2,\nu} usados em intervalos de confiança
\bar X \pm t_{1-\alpha/2,\nu}\,\frac{S}{\sqrt{n}}
crescem conforme \nu diminui, tornando os intervalos mais largos. Em testes de hipótese, exige-se um valor de |T| maior para rejeitar H_0, o que deixa o procedimento mais conservador.

Passo 6

À medida que aumentamos n, \nu\to\infty e a t de Student converge para a normal padrão. Portanto, o efeito de “caudas pesadas” desaparece para amostras grandes.

Resposta

Diminuir o tamanho da amostra reduz os graus de liberdade \nu, fazendo as caudas da distribuição t ficarem mais pesadas, aumentar a variância \nu/(\nu-2), elevar os valores críticos t_{1-\alpha/2,\nu} e alargar intervalos de confiança, além de tornar os testes de hipótese mais conservadores.

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