Explique o aparente paradoxo abaixo: Aplicando as Propriedades da integral i e ii, tem-se
integral(x+1) d x=x^22+x+C
Resolvendo essa mesma integral utilizando o método da substituição com u=x+1 e d u=d x, obtém-se
integral(x+1) d x=integral u d u=u^22+C=(x+1)^22+C

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) de (x+1). Primeiro aplicamos a linearidade:
integral(x+1),dx=integral x,dx+integral1,dx=x^22+x+C1
Depois, pela substituição u=x+1, du=dx:
integral(x+1),dx=integral u,du=u^22+C2=(x+1)^22+C2
Surge aí o “paradoxo” de termos duas fórmulas diferentes.

Passo 2

Vamos expandir a expressão obtida pela substituição e comparar com a outra:
(x+1)^22 =x^2+2x+12 =x^22+x+12

Passo 3

Logo
(x+1)^22+C2 =x^22+x+12+C2 =x^22+x+underbracel(C2+tfrac12r)C1
Bastou definir C1=C2+tfrac12 para ver que as duas primitivas coincidem.

Passo 4

Em teoria de integrais indefinidas, toda primitiva é única até uma constante. Portanto não há contradição: as duas fórmulas diferem apenas na escolha da constante de integração.

Resposta

Não há paradoxo: os dois resultados são a mesma família de primitivas, pois a diferença tfrac12 foi absorvida na constante de integração.

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