Explique o aparente paradoxo abaixo: Aplicando as Propriedades da integral i e ii, tem-se
Resolvendo essa mesma integral utilizando o método da substituição com e , obtém-se
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) de . Primeiro aplicamos a linearidade:
Depois, pela substituição , :
Surge aí o “paradoxo” de termos duas fórmulas diferentes.
Passo 2
Vamos expandir a expressão obtida pela substituição e comparar com a outra:
Passo 3
Logo
Bastou definir C1=C2+tfrac12 para ver que as duas primitivas coincidem.
Passo 4
Em teoria de integrais indefinidas, toda primitiva é única até uma constante. Portanto não há contradição: as duas fórmulas diferem apenas na escolha da constante de integração.
Resposta
Não há paradoxo: os dois resultados são a mesma família de primitivas, pois a diferença tfrac12 foi absorvida na constante de integração.