Explique em cada caso por que não existe uma transformação linear T tal que:
T: R^5 R^2 com Nuc(T)=lang<=(1,2,3,4,5),(2,3,4,5,6)rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente explicar por que não existe uma transformação linear T que vai de R^5 para R^2 e que tem como núcleo (ou “nulidade”) o espaço gerado pelos vetores (1,2,3,4,5) e (2,3,4,5,6) . Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de Álgebra Linear, como transformação linear, núcleo de uma transformação, e o Teorema do Núcleo e da Imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear T: R^n R^m é uma função que respeita as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores u, v em R^n e qualquer escalar c , temos:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(cu) = cT(u)

Passo 3

O núcleo de uma transformação linear T , denotado por Nuc(T) , é o conjunto de todos os vetores em R^n que são mapeados para o vetor zero em R^m . Formalmente:
Nuc(T) = v in R^n mid T(v) = 0
No nosso caso, Nuc(T) é gerado pelos vetores (1,2,3,4,5) e (2,3,4,5,6) .

Passo 4

Agora, vamos utilizar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz:
dim(Nuc(T)) + dim(Im(T)) = dim(R^n)
Aqui, dim(R^n) é o número de dimensões do espaço de partida, que no nosso caso é 5.

Passo 5

Primeiro, precisamos descobrir a dimensão do núcleo. Como [Nuc(T)) é gerado por dois vetores, se esses vetores forem linearmente independentes, então . Vamos verificar se são independentes:
Para ver isso, tentamos encontrar escalares e tais que:
Isso gera o sistema:
Resolvendo, vemos que a única solução é , então os vetores são linearmente independentes e .

Passo 6

Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
2 + dim(Im(T)) = 5
Resolvendo, temos dim(Im(T)) = 3 .

Passo 7

Mas a imagem de T está em R^2 , que tem dimensão 2. Então, não pode haver uma imagem com dimensão 3 dentro de R^2 . Isso é impossível, pois não dá para ter mais dimensões na imagem do que o espaço de chegada.

Resposta

Portanto, não existe uma transformação linear T: R^5 R^2 com núcleo igual a lang<=(1,2,3,4,5),(2,3,4,5,6)rang<= porque a dimensão do núcleo levaria a uma imagem de dimensão 3, o que excede a dimensão do espaço de chegada R^2 .

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