Explique em cada caso por que não existe uma transformação linear tal que: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente explicar por que não existe uma transformação linear que vai de para e que tem como núcleo (ou “nulidade”) o espaço gerado pelos vetores e . Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de Álgebra Linear, como transformação linear, núcleo de uma transformação, e o Teorema do Núcleo e da Imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear é uma função que respeita as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , temos:
Passo 3
O núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Formalmente:
No nosso caso, é gerado pelos vetores e .
Passo 4
Agora, vamos utilizar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz:
Aqui, é o número de dimensões do espaço de partida, que no nosso caso é 5.
Passo 5
Primeiro, precisamos descobrir a dimensão do núcleo. Como [Nuc(T)) é gerado por dois vetores, se esses vetores forem linearmente independentes, então . Vamos verificar se são independentes:
Para ver isso, tentamos encontrar escalares e tais que:
Isso gera o sistema:
Resolvendo, vemos que a única solução é , então os vetores são linearmente independentes e .
Passo 6
Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
2 + dim(Im(T)) = 5
Resolvendo, temos dim(Im(T)) = 3 .
Passo 7
Mas a imagem de T está em R^2 , que tem dimensão 2. Então, não pode haver uma imagem com dimensão 3 dentro de R^2 . Isso é impossível, pois não dá para ter mais dimensões na imagem do que o espaço de chegada.
Resposta
Portanto, não existe uma transformação linear T: R^5 R^2 com núcleo igual a lang<=(1,2,3,4,5),(2,3,4,5,6)rang<= porque a dimensão do núcleo levaria a uma imagem de dimensão 3, o que excede a dimensão do espaço de chegada R^2 .