Verifique se a seguinte aplicação é transformação linear:
T: M(n times n) longrightarrow R^n A([ai j])=(a11, a22, ldots, an n)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma função T que pega uma matriz quadrada de tamanho n times n e retorna um vetor em R^n com os elementos da diagonal principal da matriz. Nosso objetivo é verificar se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é uma transformação linear. Uma função T: V W entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u, v em V e qualquer escalar c , as seguintes condições são satisfeitas:
  1. T(u + v) = T(u) + T(v) (Aditividade)
  2. T(cu) = cT(u) (Homogeneidade)

Passo 3

Vamos testar a propriedade da aditividade. Se pegarmos duas matrizes A = [aij] e B = [bij] , então:
T(A + B) = T( [aij + bij] ) = (a11 + b11, a22 + b22, ldots, ann + bnn)
Por outro lado:
T(A) + T(B) = (a11, a22, ldots, ann) + (b11, b22, ldots, bnn) = (a11 + b11, a22 + b22, ldots, ann + bnn)
Vemos que T(A + B) = T(A) + T(B) , então a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Se pegarmos uma matriz A = [aij] e um escalar c , então:
T(cA) = T( [c cdot aij] ) = (c cdot a11, c cdot a22, ldots, c cdot ann)
Por outro lado:
cT(A) = c cdot (a11, a22, ldots, ann) = (c cdot a11, c cdot a22, ldots, c cdot ann)
Aqui também, T(cA) = cT(A) , então a homogeneidade está satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de aditividade e homogeneidade foram atendidas, podemos concluir que a aplicação T definida por T([aij]) = (a11, a22, ldots, ann) é uma transformação linear.

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