Verifique se a seguinte aplicação é transformação linear:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma função
que pega uma matriz quadrada de tamanho
e retorna um vetor em
com os elementos da diagonal principal da matriz. Nosso objetivo é verificar se essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar duas propriedades principais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes condições são satisfeitas:
-
(Aditividade) -
(Homogeneidade)
Passo 3
Vamos testar a propriedade da aditividade. Se pegarmos duas matrizes
e
, então:
Por outro lado:
Vemos que
, então a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Se pegarmos uma matriz
e um escalar
, então:
Por outro lado:
Aqui também,
, então a homogeneidade está satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de aditividade e homogeneidade foram atendidas, podemos concluir que a aplicação
definida por
é uma transformação linear.