Explique em cada caso por que não existe uma transformação linear T tal que:
T: R^11 R^11 com posto(T)=dim(Nuc(T)),

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Você quer entender por que não existe uma transformação linear T que vai de R^11 para R^11 onde o posto de T é igual à dimensão do núcleo de T . A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente o Teorema do Posto e Núcleo, para resolver isso. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, T: R^11 R^11 significa que a transformação pega vetores de 11 dimensões e retorna vetores de 11 dimensões.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o posto de T , que é basicamente o número de vetores linearmente independentes na imagem de T . Já a dimensão do núcleo de T é o número de vetores que T envia para o vetor zero, ou seja, as soluções da equação T(x) = 0 .

Passo 4

A gente vai usar o Teorema do Posto e Núcleo, que diz:
Posto(T) + dim(Núc<=o(T)) = n ú
Onde n é a dimensão do espaço de partida, que no nosso caso é 11.

Passo 5

Segundo o enunciado, queremos que:
Posto(T) = dim(Núc<=o(T)) ú
Vamos chamar ambos de p . Então temos:
p + p = 11 implies 2p = 11 implies p = 112

Passo 6

O problema aqui é que p representa o posto de T , que é um número inteiro (não dá para ter meio posto, certo?). Mas pelo cálculo, p = 112 = 5,5 , o que não é possível porque posto deve ser um número inteiro entre 0 e 11.

Passo 7

Como não existe um número inteiro p que satisfaça a equação 2p = 11 , concluímos que não é possível ter uma transformação linear T de R^11 para R^11 onde o posto de T seja igual à dimensão do núcleo de T .

Resposta

Não existe tal transformação linear T: R^11 R^11 onde Posto(T) = dim(Núc<=o(T)) ú.

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