Explique em cada caso por que não existe uma transformação linear
tal que:
,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Você quer entender por que não existe uma transformação linear
que vai de
para
onde o posto de
é igual à dimensão do núcleo de
. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente o Teorema do Posto e Núcleo, para resolver isso. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. É uma função que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso,
significa que a transformação pega vetores de 11 dimensões e retorna vetores de 11 dimensões.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o posto de
, que é basicamente o número de vetores linearmente independentes na imagem de
. Já a dimensão do núcleo de
é o número de vetores que
envia para o vetor zero, ou seja, as soluções da equação
.
Passo 4
A gente vai usar o Teorema do Posto e Núcleo, que diz:
Onde
é a dimensão do espaço de partida, que no nosso caso é 11.
Passo 5
Segundo o enunciado, queremos que:
Vamos chamar ambos de
. Então temos:
Passo 6
O problema aqui é que
representa o posto de
, que é um número inteiro (não dá para ter meio posto, certo?). Mas pelo cálculo,
, o que não é possível porque posto deve ser um número inteiro entre 0 e 11.
Passo 7
Como não existe um número inteiro
que satisfaça a equação
, concluímos que não é possível ter uma transformação linear
de
para
onde o posto de
seja igual à dimensão do núcleo de
.
Resposta
Não existe tal transformação linear
onde
.