Determine os valores máximos e mínimos para as dimensões do núcleo e da imagem de cada uma das T.L a seguir.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar os valores máximos e mínimos das dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente do teorema do posto e da nulidade. Vamos precisar entender bem esse teorema para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
que são mapeados para o vetor zero em
. Já a imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os vetores em
que são imagens de vetores de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do teorema do posto e da nulidade, que diz:
Isso significa que a soma das dimensões do núcleo e da imagem de
sempre será igual à dimensão do espaço de partida, que aqui é 4.
Passo 4
Vamos determinar os possíveis valores para
e
.
Primeiro, a dimensão da imagem de
, também conhecida como posto de
, não pode exceder a menor dimensão entre o espaço de partida e o de chegada. Assim:
Isso significa que o posto de
pode ser no máximo 4.
Passo 5
Usando o teorema do posto e da nulidade, podemos encontrar a dimensão do núcleo:
Como
pode variar de 0 a 4, a dimensão do núcleo varia de:
Passo 6
Resumindo os possíveis valores:
-
Dimensão da Imagem (
): - Mínimo: 0
- Máximo: 4
-
Dimensão do Núcleo (
): - Mínimo: 0
- Máximo: 4
Resposta
Os valores possíveis para as dimensões são:
- Dimensão da Imagem: mínimo 0 e máximo 4.
- Dimensão do Núcleo: mínimo 0 e máximo 4.