Determine os valores máximos e mínimos para as dimensões do núcleo e da imagem de cada uma das T.L a seguir.
T: R^4 R^20.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar os valores máximos e mínimos das dimensões do núcleo e da imagem de uma transformação linear T: R^4 R^20 . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente do teorema do posto e da nulidade. Vamos precisar entender bem esse teorema para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo de T , denotado por Ker(T) , é o conjunto de todos os vetores v in R^4 que são mapeados para o vetor zero em R^20 . Já a imagem de T , denotada por Im(T) , é o conjunto de todos os vetores em R^20 que são imagens de vetores de R^4 .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do teorema do posto e da nulidade, que diz:
dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(R^4) = 4
Isso significa que a soma das dimensões do núcleo e da imagem de T sempre será igual à dimensão do espaço de partida, que aqui é 4.

Passo 4

Vamos determinar os possíveis valores para dim(Im(T)) e dim(Ker(T)) .
Primeiro, a dimensão da imagem de T , também conhecida como posto de T , não pode exceder a menor dimensão entre o espaço de partida e o de chegada. Assim:
dim(Im(T)) <= min4, 20 = 4
Isso significa que o posto de T pode ser no máximo 4.

Passo 5

Usando o teorema do posto e da nulidade, podemos encontrar a dimensão do núcleo:
dim(Ker(T)) = 4 - dim(Im(T))
Como dim(Im(T)) pode variar de 0 a 4, a dimensão do núcleo varia de:
4 - 4 = 0 até 4 - 0 = 4 é

Passo 6

Resumindo os possíveis valores:
  • Dimensão da Imagem ( Im(T) ):
    • Mínimo: 0
    • Máximo: 4
  • Dimensão do Núcleo ( Ker(T) ):
    • Mínimo: 0
    • Máximo: 4

Resposta

Os valores possíveis para as dimensões são:
  • Dimensão da Imagem: mínimo 0 e máximo 4.
  • Dimensão do Núcleo: mínimo 0 e máximo 4.

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