Determine se a equação é exata. Caso seja exata, calcule a solução:
9. y^{\prime}-2 x y=x y^{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' - 2 x y = x y^{2}
e pede para determinar se a equação é exata e, caso seja (ou se for tornada exata por um fator integrante), calcular a solução.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação pode ser escrita em forma diferencial como
(-2xy - x y^{2})\,dx + 1\cdot dy = 0.
Portanto podemos tomar
M(x,y) = -2xy - x y^{2},\qquad N(x,y)=1.
O objetivo é testar exatidão da forma M\,dx+N\,dy=0 e, se necessário, procurar um fator integrante para encontrar a solução geral.
Passo 2
Lembrete curto sobre exatidão (aula rápida): uma forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
A solução geral implícita da equação exata é \Phi(x,y)=\text{const}. Multiplicando por 2 para simplificar:
- x^{2} + \ln\left|\frac{y}{2+y}\right| = C,
ou equivalentemente
\ln\left|\frac{y}{2+y}\right| = x^{2} + C.
Exponenciando,
\left|\frac{y}{2+y}\right| = C_1 e^{x^{2}}.
Retirando valor absoluto e agrupando a constante arbitrária em K\in\mathbb{R}, escrevemos
\frac{y}{2+y} = K e^{x^{2}}.
Agora resolvemos essa equação algébrica para y:
y = K e^{x^{2}}(2+y) \quad\Rightarrow\quad y - K e^{x^{2}} y = 2 K e^{x^{2}}
y(1 - K e^{x^{2}})=2 K e^{x^{2}}\quad\Rightarrow\quad y = \frac{2K e^{x^{2}}}{1 - K e^{x^{2}}}.
Aqui K é constante arbitrária (real). Note que K=0 fornece a solução trivial y\equiv0.
Passo 7
Devemos também lembrar das singularidades do fator integrante: \mu(y)=1/(y(2+y)) não é definido em y=0 e y=-2. A solução obtida já inclui y\equiv0 (escolhendo K=0). A solução constante y\equiv -2 não é obtida pela fórmula para nenhum valor finito de K (uma verificação direta na equação original mostra que y\equiv -2 satisfaz a equação), logo y\equiv -2 é uma solução singular adicional que deve ser listada separadamente.
Assim, a família geral de soluções está dada explicitamente por
y(x) = \frac{2K e^{x^{2}}}{1 - K e^{x^{2}}},\qquad K\in\mathbb{R},
com a solução singular adicional
y(x)\equiv -2.
Resposta
y(x)=\frac{2K e^{x^{2}}}{1 - K e^{x^{2}}},\quad K\in\mathbb{R}