Determine se a equação é exata. Caso seja exata, calcule a solução:
9. y^{\prime}-2 x y=x y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' - 2 x y = x y^{2}
e pede para determinar se a equação é exata e, caso seja (ou se for tornada exata por um fator integrante), calcular a solução.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação pode ser escrita em forma diferencial como
(-2xy - x y^{2})\,dx + 1\cdot dy = 0.
  • Portanto podemos tomar
M(x,y) = -2xy - x y^{2},\qquad N(x,y)=1.
O objetivo é testar exatidão da forma M\,dx+N\,dy=0 e, se necessário, procurar um fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Lembrete curto sobre exatidão (aula rápida): uma forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.
Uma condição prática é verificar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vamos calcular as derivadas parciais de M e N.
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-2xy - x y^{2}) = -2x - 2x y = -2x(1+y),
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(1)=0.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x}, a forma não é exata inicialmente.

Passo 3

Quando a forma não é exata, buscamos um fator integrante \mu que dependa apenas de x ou apenas de y. Existem testes rápidos:
  • Se \dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} depende apenas de x, então existe \mu(x).
  • Se \dfrac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} depende apenas de y, então existe \mu(y).
Vamos calcular essas expressões.
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{-2x(1+y)-0}{1}=-2x(1+y),
essa expressão depende de y e x, logo não é função só de x. Agora a outra:
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{0-(-2x(1+y))}{-2xy - x y^{2}}=\frac{2x(1+y)}{-x(2y+y^{2})}.
Simplificando (cortando x, assumindo x\neq0 para o teste; se x=0 o teste localmente ainda vale como relação algébrica),
\frac{2(1+y)}{-(2y+y^{2})}=-\frac{2(1+y)}{y(2+y)}.
Observe que essa razão depende apenas de y. Portanto existe um fator integrante \mu(y).

Passo 4

Para \mu(y) vale a equação diferencial
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=-\frac{2(1+y)}{y(2+y)}.
Integramos em y. Primeiro fazemos decomposição em frações parciais da função do lado direito. Note que
\frac{1+y}{y(2+y)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{2+y}.
Resolvendo: 1+y = A(2+y)+By. Igualando coeficientes: 2A=1\Rightarrow A=\tfrac{1}{2}; A+B=1\Rightarrow B=\tfrac{1}{2}. Logo
\frac{1+y}{y(2+y)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{y}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2+y}.
Multiplicando por -2 (lembrando do integrando):
-\frac{2(1+y)}{y(2+y)} = -\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{2+y}\right).
Agora integramos:
\int \frac{\mu'(y)}{\mu(y)}\,dy = \int \left(-\frac{1}{y}-\frac{1}{2+y}\right)\,dy = -\ln|y| - \ln|2+y| + C.
Portanto
\ln \mu(y) = -\ln\big(|y(2+y)|\big) + C \quad\Rightarrow\quad \mu(y)=\frac{C_1}{y(2+y)}.
Podemos escolher a constante multiplicativa C_1=1 (um fator integrante multiplicado por constante ainda funciona). Assim tomamos
\mu(y)=\frac{1}{y(2+y)}.
Observação prática: \mu(y) está indefinida em y=0 e y=-2; esses valores merecem atenção depois (podem corresponder a soluções singulares).

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=\dfrac{1}{y(2+y)}. Lembrando que original em forma diferencial é ( -2xy - x y^{2})\,dx + dy=0, obtemos
\left(\frac{-2xy - x y^{2}}{y(2+y)}\right)dx + \left(\frac{1}{y(2+y)}\right)dy = 0.
Simplificando o primeiro coeficiente:
\frac{-2xy - x y^{2}}{y(2+y)} = -x\cdot\frac{2y+y^{2}}{y(2+y)}=-x.
Portanto a nova forma é
(-x)\,dx + \frac{1}{y(2+y)}\,dy = 0.
Verifiquemos a exatidão agora: tome M^{*}(x,y)=-x e N^{*}(x,y)=\dfrac{1}{y(2+y)}. Então
\frac{\partial M^{*}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial N^{*}}{\partial x}=0,
logo são iguais; a forma é exata. Bom — temos uma forma exata simples.

Passo 6

Agora procuramos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M^{*}(x,y)=-x,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N^{*}(x,y)=\frac{1}{y(2+y)}.
Integramos a primeira igualdade em x:
\Phi(x,y)=\int -x\,dx = -\frac{x^{2}}{2} + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar. Derivando \Phi em relação a y e igualando a N^{*}
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=h'(y)=\frac{1}{y(2+y)}.
Integrando h'(y) (usar novamente frações parciais):
\frac{1}{y(2+y)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{y}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2+y}.
Logo
h(y)=\int \frac{1}{y(2+y)}\,dy = \frac{1}{2}\ln|y| - \frac{1}{2}\ln|2+y| + C_2 = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{y}{2+y}\right| + C_2.
Portanto podemos tomar a função potencial
\Phi(x,y) = -\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln\left|\frac{y}{2+y}\right|.
A solução geral implícita da equação exata é \Phi(x,y)=\text{const}. Multiplicando por 2 para simplificar:
- x^{2} + \ln\left|\frac{y}{2+y}\right| = C,
ou equivalentemente
\ln\left|\frac{y}{2+y}\right| = x^{2} + C.
Exponenciando,
\left|\frac{y}{2+y}\right| = C_1 e^{x^{2}}.
Retirando valor absoluto e agrupando a constante arbitrária em K\in\mathbb{R}, escrevemos
\frac{y}{2+y} = K e^{x^{2}}.
Agora resolvemos essa equação algébrica para y:
y = K e^{x^{2}}(2+y) \quad\Rightarrow\quad y - K e^{x^{2}} y = 2 K e^{x^{2}}
y(1 - K e^{x^{2}})=2 K e^{x^{2}}\quad\Rightarrow\quad y = \frac{2K e^{x^{2}}}{1 - K e^{x^{2}}}.
Aqui K é constante arbitrária (real). Note que K=0 fornece a solução trivial y\equiv0.

Passo 7

Devemos também lembrar das singularidades do fator integrante: \mu(y)=1/(y(2+y)) não é definido em y=0 e y=-2. A solução obtida já inclui y\equiv0 (escolhendo K=0). A solução constante y\equiv -2 não é obtida pela fórmula para nenhum valor finito de K (uma verificação direta na equação original mostra que y\equiv -2 satisfaz a equação), logo y\equiv -2 é uma solução singular adicional que deve ser listada separadamente.
Assim, a família geral de soluções está dada explicitamente por
y(x) = \frac{2K e^{x^{2}}}{1 - K e^{x^{2}}},\qquad K\in\mathbb{R},
com a solução singular adicional
y(x)\equiv -2.

Resposta

y(x)=\frac{2K e^{x^{2}}}{1 - K e^{x^{2}}},\quad K\in\mathbb{R}
y(x)\equiv -2

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