Sejam \mathbf{u}=\langle 1,2\rangle, \mathbf{v}=\langle 4,-2\rangle \mathbf{e} \mathbf{w}=\langle 6,0\rangle. Determine
$|(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w}) \mathbf{w}|

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores no plano e pede um valor escalar relacionado a eles. Informações fornecidas:
  • \mathbf{u}=\langle 1,2\rangle.
  • \mathbf{v}=\langle 4,-2\rangle (não será necessária aqui, mas foi listada no enunciado).
  • \mathbf{w}=\langle 6,0\rangle.
O que se pede:
  • Determinar \left\|(\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\,\mathbf{w}\right\|.

Passo 2

Relembrando o produto escalar (só uma aulinha rápida): para dois vetores no plano \mathbf{a}=\langle a_1,a_2\rangle e \mathbf{b}=\langle b_1,b_2\rangle, o produto escalar é
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2.
Aqui a_1,a_2,b_1,b_2 são as componentes dos vetores (os números que aparecem dentro do símbolo \langle\cdot,\cdot\rangle). Vamos calcular \mathbf{u}\cdot\mathbf{w} aplicando essa fórmula com \mathbf{u}=\langle 1,2\rangle e \mathbf{w}=\langle 6,0\rangle:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=1\cdot 6 + 2\cdot 0=6+0=6.

Passo 3

Agora interpretamos a expressão (\mathbf{u}\cdot\mathbf{w})\,\mathbf{w}: isso é um escalar (o número \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}) multiplicando o vetor \mathbf{w}. Seja c=\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}. Então
c\,\mathbf{w}=6\,\langle 6,0\rangle.
Multiplicando cada componente do vetor pelo escalar:
6\,\langle 6,0\rangle=\langle 6\cdot 6,\;6\cdot 0\rangle=\langle 36,0\rangle.

Passo 4

Agora precisamos da norma (módulo) do vetor \langle 36,0\rangle. A definição de norma (comprimento) de um vetor \mathbf{z}=\langle z_1,z_2\rangle no plano é
\|\mathbf{z}\|=\sqrt{z_1^2+z_2^2},
pois é a hipotenusa do triângulo formado pelas componentes. Aplicando essa definição ao vetor \langle 36,0\rangle:
\left\|\langle 36,0\rangle\right\|=\sqrt{36^2+0^2}=\sqrt{1296}.

Passo 5

Comentário útil para a prova (truquezinho): existe uma propriedade que facilita cálculos quando um vetor é multiplicado por escalar, ela diz
\|c\,\mathbf{v}\|=|c|\,\|\mathbf{v}\|,
onde |c| é o valor absoluto do escalar. Se usada aqui com c=6 e \mathbf{v}=\mathbf{w}=\langle 6,0\rangle, obtém-se a mesma resposta por outro caminho (sem necessidade de multiplicar componentes primeiro).

Resposta

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