Explique como o conceito de quantização de órbitas se aproxima do princípio da incerteza de Heisenberg.
Passo 1
O enunciado nos pede para relacionar o conceito clássico de quantização de órbitas (modelo de Bohr) com o princípio da incerteza de Heisenberg. O conteúdo envolve mecânica quântica antiga (condição de quantização de momento angular) e o fundamento moderno do princípio da incerteza, que estabelece limites fundamentais à precisão simultânea de posição e momento.
Passo 2
No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, supomos que o elétron descreve órbitas circulares ao redor do núcleo e impomos a condição de quantização do momento angular:
onde
é a massa do elétron,
sua velocidade,
o raio da órbita,
um inteiro positivo e
a constante reduzida de Planck. Essa condição faz aparecer apenas certas órbitas estáveis e níveis de energia discretos.
Passo 3
O princípio da incerteza de Heisenberg diz que não podemos conhecer simultaneamente com precisão arbitrária a posição
e o momento
de uma partícula:
Se reduzimos
(localizamos bem o elétron),
cresce, e vice-versa.
Passo 4
Na condição de Bohr, o momento angular
está perfeitamente definido, ou seja,
. Mas isso implica que a componente tangencial do momento está exatamente determinada, o que, pelo princípio da incerteza, obriga a incerteza na coordenada correspondente (a posição angular ou mesmo o raio) a ser grande. Em outras palavras, quanto mais fixamos o momento angular numa órbita, mais “espalhado” fica o elétron ao longo dessa circunferência. Assim, a quantização de órbitas de Bohr é um caso semiclássico em que a imposição de
já antecipa que não podemos ter simultaneamente um
e um
ambos bem definidos — coerente com
.
Passo 5
Na visão quântica completa, as órbitas de Bohr são substituídas por funções de onda estacionárias cujos nós e condições de contorno geram níveis de energia discretos. Esses estados ligam diretamente a noção de quantização à incerteza: as funções de onda satisfazem limites de
e
que reproduzem a ideia semiclássica de órbitas permitidas, mas sem violar o princípio da incerteza.
Resposta
A quantização de órbitas de Bohr impõe um momento angular perfeitamente definido
, o que, via
, gera incerteza na posição do elétron ao longo da órbita. Assim, esse modelo semiclássico já carrega o espírito do princípio de Heisenberg: não é possível ter raio e momento simultaneamente precisos, e a discretização das órbitas decorre das condições de contorno impostas pela natureza ondulatória da partícula.