Qual a relação entre o modelo de Bohr e a dualidade onda-partícula?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a relação entre o modelo de Bohr do átomo e o conceito de dualidade onda-partícula. Vamos primeiro relembrar o que cada um propõe: o modelo de Bohr e a ideia de que partículas podem ter caráter ondulatório.

Passo 2

No modelo de Bohr o elétron descreve órbitas circulares ao redor do núcleo sem emitir radiação, e Bohr postulou a quantização do momento angular:
m v r = n \hbar,
onde m é a massa do elétron, v sua velocidade, r o raio da órbita, n o número quântico inteiro e \hbar a constante de Planck reduzida.

Passo 3

A dualidade onda-partícula, proposta por de Broglie, diz que a matéria tem comprimento de onda associado:
\lambda = \frac{h}{p},
onde h é a constante de Planck e p = m v é o momento linear da partícula.

Passo 4

Se tratarmos o elétron como uma onda estacionária ao redor do núcleo, exigimos que um número inteiro de comprimentos de onda caiba na circunferência da órbita:
2\pi r = n \lambda.
Substituindo \lambda = h/(m v) obtemos
2\pi r = n\,\frac{h}{m v} \quad\Longrightarrow\quad m v r = n\,\frac{h}{2\pi} = n \hbar,
que é exatamente a condição de quantização de Bohr.

Passo 5

Portanto, a quantização que Bohr introduziu de modo ad hoc para explicar as linhas espectrais tem na dualidade onda-partícula uma fundamentação física: o elétron comporta-se como onda estacionária, o que justifica a escolha das órbitas permitidas.

Resposta

A condição de quantização do momento angular do modelo de Bohr, m v r = n \hbar, pode ser derivada exigindo que o elétron se comporte como uma onda estacionária em torno do núcleo, com 2\pi r = n\lambda e \lambda = h/(m v). Isso mostra que a dualidade onda-partícula dá base física ao postulado de órbitas quantizadas de Bohr.

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