Explique:
Por que um conjunto S_{1} com dois vetores da forma ( u_{1}, u_{2}, u_{3} ) não é base de \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado diz que existe um conjunto S_{1} formado por dois vetores em \mathbb{R}^{3}, cada um com três componentes (da forma (u_{1},u_{2},u_{3})). A pergunta é: por que esse conjunto de dois vetores não é uma base de \mathbb{R}^{3}?
Informações dadas:
  • S_{1} tem exatamente dois vetores, digamos v e w, com v,w\in\mathbb{R}^{3}.
  • Queremos saber por que S_{1} não pode ser base de \mathbb{R}^{3}.
O que o problema pede:
  • Mostrar, de forma clara e didática, por que dois vetores em \mathbb{R}^{3} não formam uma base desse espaço vetorial.

Passo 2

Definição de base (explicada com calma).
  • Uma família de vetores é uma base de um espaço vetorial quando satisfaz duas condições ao mesmo tempo:
    1. Gera o espaço: o span (ou combinação linear) dos vetores é todo o espaço. Em símbolos, se a base for \{v_1,\dots,v_k\}, então \mathrm{span}\{v_1,\dots,v_k\}=\mathbb{R}^{3}.
    2. É linearmente independente: nenhuma combinação linear não-trivial dos vetores dá o vetor zero.
Vou explicar cada termo:
  • \mathrm{span}\{v,w\}=\{a v + b w \mid a,b\in\mathbb{R}\}. É o conjunto de todas as combinações lineares possíveis de v e w.
  • Linearmente independente significa que a única solução de a v + b w = 0 é a=b=0.

Passo 3

Conceito de dimensão (por que é relevante).
  • O espaço \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3. Isso significa que existe uma base com exatamente 3 vetores e que qualquer base de \mathbb{R}^{3} tem exatamente 3 vetores.
  • Consequência prática: uma base de \mathbb{R}^{3} deve ter exatamente 3 vetores. Então qualquer conjunto com menos de 3 vetores não pode ser uma base (nem pode gerar todo \mathbb{R}^{3}).

Passo 4

Argumento direto usando span e número de vetores (método elementar).
  • Se temos apenas dois vetores v e w, então \mathrm{span}\{v,w\} é o conjunto \{a v + b w \mid a,b\in\mathbb{R}\}.
  • Geometricamente, em \mathbb{R}^{3} esse conjunto é uma reta (se v e w são dependentes) ou um plano que passa pela origem (se v e w são independentes).
  • Em qualquer caso, \mathrm{span}\{v,w\} é um subespaço de dimensão no máximo 2. Logo não pode ser igual a \mathbb{R}^{3}, que tem dimensão 3.

Passo 5

Argumento algébrico mostrando que nem todo vetor de \mathbb{R}^{3}\) pode ser escrito com dois vetores. - Escreva \(v=(v_{1},v_{2},v_{3})\) e \(w=(w_{1},w_{2},w_{3})\). Queremos representar um vetor arbitrário \((x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\) como \(a v + b w\). - Isso dá o sistema linear de três equações em duas incógnitas \(a\) e \(b\): \[\begin{cases} a v_{1} + b w_{1} = x,\\[4pt] a v_{2} + b w_{2} = y,\\[4pt] a v_{3} + b w_{3} = z. \end{cases}
  • Em geral, um sistema com mais equações que incógnitas não tem solução para todos os termos à direita. Portanto, não existe garantia (e normalmente não existe) de que todo (x,y,z)\] possa ser obtido por alguma escolha de \(a,b. Ou seja, há vetores em \mathbb{R}^{3} que não estão em \mathrm{span}\{v,w\}.]

Passo 6

Exemplo concreto e intuitivo (para fixar a ideia).
  • Pegue v=(1,0,0) e w=(0,1,0). Esses dois vetores são independentes, mas qualquer combinação a v + b w tem terceira coordenada zero, então nunca se obtém (0,0,1). Logo \mathrm{span}\{v,w\} é o plano z=0, estritamente menor que \mathbb{R}^{3}.
  • Se v e w forem dependentes (por exemplo w=2v), aí \mathrm{span}\{v,w\} é ainda menor: uma reta. Também não é \mathbb{R}^{3}.

Passo 7

Conclusão rigorosa e amigável.
  • Como \mathbb{R}^{3} tem dimensão 3, toda base precisa ter exatamente 3 vetores. Dois vetores geram no máximo um subespaço de dimensão 2. Portanto, com apenas dois vetores não se pode gerar todo \mathbb{R}^{3}, assim S_{1} não é base de \mathbb{R}^{3}.

Resposta

Porque \dim\mathbb{R}^{3}=3, logo qualquer base de \mathbb{R}^{3} precisa ter 3 vetores; um conjunto com apenas dois vetores gera no máximo um subespaço de dimensão 2 (uma reta ou um plano), portanto não pode gerar \mathbb{R}^{3} e não é base.

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