Explique:
Por que um conjunto
com dois vetores da forma (
) não é base de
Por que um conjunto
Passo 1
O enunciado diz que existe um conjunto
formado por dois vetores em
, cada um com três componentes (da forma
). A pergunta é: por que esse conjunto de dois vetores não é uma base de
?
Informações dadas:
-
tem exatamente dois vetores, digamos e , com . - Queremos saber por que
não pode ser base de .
O que o problema pede:
- Mostrar, de forma clara e didática, por que dois vetores em
não formam uma base desse espaço vetorial.
Passo 2
Definição de base (explicada com calma).
- Uma família de vetores é uma base de um espaço vetorial quando satisfaz duas condições ao mesmo tempo:
- Gera o espaço: o span (ou combinação linear) dos vetores é todo o espaço. Em símbolos, se a base for
, então . - É linearmente independente: nenhuma combinação linear não-trivial dos vetores dá o vetor zero.
- Gera o espaço: o span (ou combinação linear) dos vetores é todo o espaço. Em símbolos, se a base for
Vou explicar cada termo:
-
. É o conjunto de todas as combinações lineares possíveis de e . - Linearmente independente significa que a única solução de
é .
Passo 3
Conceito de dimensão (por que é relevante).
- O espaço
tem dimensão . Isso significa que existe uma base com exatamente vetores e que qualquer base de tem exatamente vetores. - Consequência prática: uma base de
deve ter exatamente vetores. Então qualquer conjunto com menos de vetores não pode ser uma base (nem pode gerar todo ).
Passo 4
Argumento direto usando span e número de vetores (método elementar).
- Se temos apenas dois vetores
e , então é o conjunto . - Geometricamente, em
esse conjunto é uma reta (se e são dependentes) ou um plano que passa pela origem (se e são independentes). - Em qualquer caso,
é um subespaço de dimensão no máximo . Logo não pode ser igual a , que tem dimensão .
Passo 5
Argumento algébrico mostrando que nem todo vetor de
- Em geral, um sistema com mais equações que incógnitas não tem solução para todos os termos à direita. Portanto, não existe garantia (e normalmente não existe) de que todo
. Ou seja, há vetores em
que não estão em .]
Passo 6
Exemplo concreto e intuitivo (para fixar a ideia).
- Pegue
e . Esses dois vetores são independentes, mas qualquer combinação tem terceira coordenada zero, então nunca se obtém . Logo é o plano , estritamente menor que . - Se
e forem dependentes (por exemplo ), aí é ainda menor: uma reta. Também não é .
Passo 7
Conclusão rigorosa e amigável.
- Como
tem dimensão , toda base precisa ter exatamente vetores. Dois vetores geram no máximo um subespaço de dimensão . Portanto, com apenas dois vetores não se pode gerar todo , assim não é base de .
Resposta
Porque
, logo qualquer base de
precisa ter
vetores; um conjunto com apenas dois vetores gera no máximo um subespaço de dimensão
(uma reta ou um plano), portanto não pode gerar
e não é base.