3.7 Explique que num condutor (um metal) em equilíbrio eletrostático, isto é, sem correntes elétricas, o campo elétrico deve ser nulo no seu interior. Com isto, aplique a lei de Gauss para mostrar que se houver carga elétrica total diferente de zero neste condutor, a mesma estará localizada na sua superfície.

Passo 1

O enunciado trata de um condutor metálico em equilíbrio eletrostático, isto é, sem correntes internas de elétrons. Queremos mostrar duas coisas: primeiro, que o campo elétrico no interior do condutor é zero; segundo, usando a lei de Gauss, que se existir carga elétrica total distinta de zero no condutor, ela deve estar toda na sua superfície. Para isso precisaremos usar argumentos de física de condutores e a forma integral da lei de Gauss em eletrostática.

Passo 2

Em um metal há elétrons livres que se movem até que não haja força elétrica líquida agindo sobre eles. Se no estado estacionário o campo elétrico interno fosse não nulo, \mathbf{E}\neq0, cada elétron sofreria força \mathbf{F}=q\mathbf{E} e continuaria se movendo, o que contradiz o equilíbrio estático. Logo, no interior do condutor em equilíbrio deve valer \mathbf{E}=\mathbf{0}.

Passo 3

Considere agora uma superfície gaussiana S totalmente contida no interior do condutor, sem atingir a sua superfície externa. Como em todo ponto de S temos \mathbf{E}=\mathbf{0}, o fluxo elétrico através de S é
\Phi_E = \oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = 0.
Pela lei de Gauss,
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total envolvida por S.

Passo 4

Igualando os dois resultados, obtemos
0 = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad Q_{\text{int}}=0.
Isto significa que não há carga no interior do condutor. Se o condutor tiver carga total Q_{\text{total}}\neq0, toda essa carga deve estar localizada fora de qualquer superfície gaussiana interior, ou seja, sobre a superfície do condutor.

Resposta

No equilíbrio eletrostático o campo elétrico interno do condutor é nulo e, pela lei de Gauss, qualquer carga elétrica total diferente de zero fica inteiramente na superfície do condutor.

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