A lei de Gauss pode ser útil para calcularmos o campo elétrico em situações de grande simetria, onde podemos identificar uma superfície gaussiana conveniente para calcular o fluxo do campo elétrico. Calcule (apresentando o cálculo em detalhe) o campo elétrico em todos os pontos do espaço nas seguintes situações:
campo elétrico produzido por uma parede infinita de espessura L com densidade de carga volumétrica igual a 3 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico gerado por uma lâmina (parede) infinita de espessura L e densidade volumétrica de carga \rho=3\,\mu\text{C/m}^3. Como há simetria infinitamente estendida nos planos paralelos à lâmina, usaremos a Lei de Gauss para um campo que só depende da distância x perpendicular à parede.

Passo 2

Escolhemos o eixo x perpendicular à lâmina e colocamos a lâmina centrada na origem, de modo que ela ocupe -\tfrac{L}{2}\le x\le+\tfrac{L}{2}. Por simetria \vec E(x) aponta ao longo de \hat x e só depende de |x|. Tomamos como superfície de Gauss um “cilindro” (pílula) de área da base A cujas faces planas são paralelas às faces da lâmina, uma face em x e outra em -x.

Passo 3

Caso interno \bigl(|x|<\tfrac{L}{2}\bigr):
  • Carga encerrada:
Q_{\rm int}=\rho\,(A\cdot 2x)\,.
  • Fluxo total:
\Phi=E(x)\,A + E(x)\,A =2E(x)\,A.
Pela Lei de Gauss,
\Phi=\frac{Q_{\rm int}}{\epsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad 2E(x)\,A=\frac{\rho\,(2x\,A)}{\epsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(x)=\frac{\rho\,x}{\epsilon_0}\,.
O sinal de x indica que \vec E aponta para fora da lâmina:
\vec E(x)=\frac{\rho\,x}{\epsilon_0}\,\hat x,\quad |x|<\frac{L}{2}.

Passo 4

Caso externo \bigl(|x|\ge\tfrac{L}{2}\bigr):
  • Carga total da lâmina:
Q_{\rm tot}=\rho\,(A\cdot L).
  • Fluxo pelas duas faces do cilindro:
2E\,A.
Pela Lei de Gauss,
2E\,A=\frac{\rho\,L\,A}{\epsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E=\frac{\rho\,L}{2\epsilon_0}.
Como o campo sai de dentro para fora,
\vec E(x)=\frac{\rho\,L}{2\epsilon_0}\,\mathrm{sgn}(x)\,\hat x, \quad |x|\ge\frac{L}{2}.

Passo 5

Substituindo \rho=3\times10^{-6}\,\text{C/m}^3 e \epsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\,\text{C}^2/\!(\text{N}\cdot\text{m}^2):
\frac{\rho}{\epsilon_0} =\frac{3\times10^{-6}}{8{,}85\times10^{-12}} \approx3{,}39\times10^5\;\frac{\text{N}}{\text{C}\cdot\text{m}},
\frac{\rho\,L}{2\epsilon_0} =\frac{3\times10^{-6}}{2\,(8{,}85\times10^{-12})}\,L \approx1{,}695\times10^5\,L\;\frac{\text{N}}{\text{C}}.

Resposta

\boxed{ \vec E(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{\rho\,x}{\epsilon_0}\,\hat x \quad&\bigl|x\bigr|<\tfrac{L}{2},\\[1em] \displaystyle\frac{\rho\,L}{2\epsilon_0}\,\mathrm{sgn}(x)\,\hat x \quad&\bigl|x\bigr|\ge\tfrac{L}{2}, \end{cases} }
com \rho=3\times10^{-6}\,\mathrm{C/m}^3.]

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