Verdadeiro ou Falso? Justifique ou dê um contraexemplo:
Se \operatorname{dim}(V)=n, então qualquer conjunto de n+1 vetores em V deve ser linearmente dependente

Passo 1

O enunciado diz: “Se \operatorname{dim}(V)=n, então qualquer conjunto de n+1 vetores em V deve ser linearmente dependente.”
Informações dadas:
  • V é um espaço vetorial com \operatorname{dim}(V)=n.
  • Queremos saber se toda coleção de n+1 vetores em V é necessariamente linearmente dependente.
    O que se pede: afirmar se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar (prova) ou fornecer contraexemplo.

Passo 2

Vou recordar definições essenciais, devagar e sem pressa, para a prova ficar bem mastigada.
Definição de combinação linear: uma combinação linear dos vetores v_1,\dots,v_k é \displaystyle a_1 v_1+\cdots+a_k v_k, com coeficientes a_i escalares.
Definição de linearmente independente: um conjunto \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única solução da equação
a_1 v_1+\cdots+a_k v_k=0
é a_1=\cdots=a_k=0. Caso exista uma solução com algum coeficiente não nulo, dizemos que o conjunto é linearmente dependente.
Definição de subespaço gerado (span): o subespaço gerado por \{v_1,\dots,v_k\} é o conjunto de todas as combinações lineares deles; denota-se \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}.
Definição de base e dimensão: uma base de um espaço é um conjunto linearmente independente que gera todo o espaço; a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base (para espaços finito-dimensionais).

Passo 3

Uma observação útil e simples (que vamos usar): se \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente, então esses vetores formam uma base do subespaço W=\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}. Por quê?
  • Pelo modo como W foi definido, \{v_1,\dots,v_k\} gera W por definição.
  • Como assumimos que são linearmente independentes, não há redundância.
    Portanto \{v_1,\dots,v_k\} é base de W, e daí
\operatorname{dim}(W)=k.
Esse fato é importante: número de vetores linearmente independentes = dimensão do subespaço que eles geram.

Passo 4

Agora vem a ideia da prova por contradição (muito comum e eficaz aqui). Suponha, para chegar a uma contradição, que exista um conjunto de n+1 vetores em V que seja linearmente independente. Escrevendo:
S=\{v_1,v_2,\dots,v_{n+1}\}\subset V
e assumindo que S é linearmente independente.

Passo 5

Pelo Passo 3, os vetores de S formam uma base do subespaço W=\operatorname{span}(S). Logo
\operatorname{dim}(W)=n+1.
Mas W é um subespaço de V, isto é W\subseteq V. Há então a desigualdade geral para dimensões de subespaços:
\operatorname{dim}(W)\le \operatorname{dim}(V).
Substituindo os números que temos:
n+1=\operatorname{dim}(W)\le \operatorname{dim}(V)=n.

Passo 6

A desigualdade n+1\le n é impossível (contradição clara). Portanto a hipótese de que existia um conjunto de n+1 vetores linearmente independentes em V é falsa. Concluímos que todo conjunto de n+1 vetores em V deve ser linearmente dependente.

Passo 7

Para fixar a intuição com um exemplo concreto e divertido: em \mathbb{R}^2 temos \operatorname{dim}(\mathbb{R}^2)=2. Qualquer conjunto de 3 vetores em \mathbb{R}^2 é linearmente dependente. Por exemplo, (1,0), (0,1) e (1,1) são dependentes porque
(1,1)=(1,0)+(0,1),
ou seja, há coeficientes não todos nulos que fazem a combinação linear ser zero (rearranjando a igualdade dá uma combinação nula não trivial). Isso ilustra a regra geral.

Passo 8

Resumo conceitual rápido (tipo check-list para prova):
  • Se um conjunto tem k vetores linearmente independentes, então o subespaço que eles geram tem dimensão k.
  • Um subespaço de V não pode ter dimensão maior que \operatorname{dim}(V).
  • Portanto nenhum conjunto de mais de n=\operatorname{dim}(V) vetores pode ser linearmente independente.

Resposta

Verdadeiro.

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