Verdadeiro ou Falso? Justifique ou dê um contraexemplo:
Se
, então qualquer conjunto de
vetores em
deve ser linearmente dependente
Se
Passo 1
O enunciado diz: “Se
, então qualquer conjunto de
vetores em
deve ser linearmente dependente.”
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é um espaço vetorial com . - Queremos saber se toda coleção de
vetores em é necessariamente linearmente dependente.
O que se pede: afirmar se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar (prova) ou fornecer contraexemplo.
Passo 2
Vou recordar definições essenciais, devagar e sem pressa, para a prova ficar bem mastigada.
Definição de combinação linear: uma combinação linear dos vetores
é
, com coeficientes
escalares.
Definição de linearmente independente: um conjunto
é linearmente independente se a única solução da equação
é
. Caso exista uma solução com algum coeficiente não nulo, dizemos que o conjunto é linearmente dependente.
Definição de subespaço gerado (span): o subespaço gerado por
é o conjunto de todas as combinações lineares deles; denota-se
.
Definição de base e dimensão: uma base de um espaço é um conjunto linearmente independente que gera todo o espaço; a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base (para espaços finito-dimensionais).
Passo 3
Uma observação útil e simples (que vamos usar): se
é linearmente independente, então esses vetores formam uma base do subespaço
. Por quê?
- Pelo modo como
foi definido, gera por definição. - Como assumimos que são linearmente independentes, não há redundância.
Portantoé base de , e daí
Esse fato é importante: número de vetores linearmente independentes = dimensão do subespaço que eles geram.
Passo 4
Agora vem a ideia da prova por contradição (muito comum e eficaz aqui). Suponha, para chegar a uma contradição, que exista um conjunto de
vetores em
que seja linearmente independente. Escrevendo:
e assumindo que
é linearmente independente.
Passo 5
Pelo Passo 3, os vetores de
formam uma base do subespaço
. Logo
Mas
é um subespaço de
, isto é
. Há então a desigualdade geral para dimensões de subespaços:
Substituindo os números que temos:
Passo 6
A desigualdade
é impossível (contradição clara). Portanto a hipótese de que existia um conjunto de
vetores linearmente independentes em
é falsa. Concluímos que todo conjunto de
vetores em
deve ser linearmente dependente.
Passo 7
Para fixar a intuição com um exemplo concreto e divertido: em
temos
. Qualquer conjunto de
vetores em
é linearmente dependente. Por exemplo,
,
e
são dependentes porque
ou seja, há coeficientes não todos nulos que fazem a combinação linear ser zero (rearranjando a igualdade dá uma combinação nula não trivial). Isso ilustra a regra geral.
Passo 8
Resumo conceitual rápido (tipo check-list para prova):
- Se um conjunto tem
vetores linearmente independentes, então o subespaço que eles geram tem dimensão . - Um subespaço de
não pode ter dimensão maior que . - Portanto nenhum conjunto de mais de
vetores pode ser linearmente independente.
Resposta
Verdadeiro.