Verdadeiro ou Falso? Justifique ou dê um contraexemplo:
Se
, então existe um conjunto de
vetores em
que geram
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e pede justificativa ou contraexemplo:
“Se
, então existe um conjunto de
vetores em
que geram
.”
Informações dadas:
- Está dado um espaço vetorial
com . - A pergunta é se sempre existe em
um conjunto com exatamente vetores cujo span (ou seja, que geram) todo .
Passo 2
Vamos revisar definições e conceitos que vamos usar, devagar e com exemplos:
-
Span / geradores: Para um subconjunto
, é o conjunto de todas as combinações lineares de vetores de . Dizemos que gera (ou é um conjunto gerador) se . -
Independência linear: Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear não trivial deles é zero. Caso contrário é dependente.
-
Base: Uma base de
é um conjunto de vetores que é simultaneamente linearmente independente e gera . Um teorema padrão diz que todas as bases de têm o mesmo número de vetores, e esse número é exatamente . Assim, uma base tem exatamente vetores quando .
Exemplo concreto (para fixar ideia): em
, a base usual
tem
vetores; qualquer conjunto de apenas
vetor não gera
(gera no máximo uma reta).
Passo 3
Lema útil (e fácil de entender): de qualquer conjunto que gera
pode-se extrair um subconjunto que é uma base de
.
Prova/explicação do lema, passo a passo e sem pulo:
- Seja
tal que . - Se
já é linearmente independente, então é uma base e estamos feitos. - Se
for linearmente dependente, existe um vetor que é combinação linear dos outros vetores de . Nesse caso, remover não diminui o span: , porque tudo que se conseguia com já se consegue com os outros. - Repetindo esse processo (remover vetores dependentes) obtemos um subconjunto
que ainda gera e que é linearmente independente. Por construção, é base de . - Como
é base e , o número de vetores de é exatamente .
Conclusão desta etapa: qualquer conjunto gerador
satisfaz
. Ou seja, todo conjunto que gera
tem pelo menos
vetores.
Passo 4
Aplicando o que acabamos de provar ao enunciado: a afirmação "existe um conjunto de
vetores que geram
" afirmaria a existência de um conjunto gerador com menos de
vetores. Mas pelo argumento anterior isso é impossível, pois todo conjunto gerador tem tamanho pelo menos
. Logo a afirmação é falsa (para espaços de dimensão positiva).
Passo 5
Contraexemplo concreto e intuitivo (para fixar e usar na prova): tome
, então
. A afirmação pede a existência de um conjunto com
vetor que gere
. Qualquer vetor
produz
, que é uma reta passando pela origem — claramente diferente de toda a
. Portanto não existe conjunto de um único vetor que gere
. Assim a afirmação é falsa e aqui está o contraexemplo.
Observação final sobre o caso
: se
temos o espaço nulo
. A questão com
não faz sentido contar “-1 vetores”, então o caso trivial não altera a conclusão prática: para dimensões positivas a afirmação é falsa.
Resposta
Falso.