Verdadeiro ou Falso? Justifique ou dê um contraexemplo:
Se \operatorname{dim}(V)=n, então existe um conjunto de n-1 vetores em V que geram V

Passo 1

O enunciado pergunta se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e pede justificativa ou contraexemplo:
“Se \operatorname{dim}(V)=n, então existe um conjunto de n-1 vetores em V que geram V.”
Informações dadas:
  • Está dado um espaço vetorial V com \operatorname{dim}(V)=n.
  • A pergunta é se sempre existe em V um conjunto com exatamente n-1 vetores cujo span (ou seja, que geram) todo V.

Passo 2

Vamos revisar definições e conceitos que vamos usar, devagar e com exemplos:
  • Span / geradores: Para um subconjunto S\subset V, \operatorname{span}(S) é o conjunto de todas as combinações lineares de vetores de S. Dizemos que S gera V (ou é um conjunto gerador) se \operatorname{span}(S)=V.
  • Independência linear: Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear não trivial deles é zero. Caso contrário é dependente.
  • Base: Uma base de V é um conjunto de vetores que é simultaneamente linearmente independente e gera V. Um teorema padrão diz que todas as bases de V têm o mesmo número de vetores, e esse número é exatamente \operatorname{dim}(V). Assim, uma base tem exatamente n vetores quando \operatorname{dim}(V)=n.
Exemplo concreto (para fixar ideia): em \mathbb{R}^2, a base usual \{(1,0),(0,1)\} tem 2 vetores; qualquer conjunto de apenas 1 vetor não gera \mathbb{R}^2 (gera no máximo uma reta).

Passo 3

Lema útil (e fácil de entender): de qualquer conjunto que gera V pode-se extrair um subconjunto que é uma base de V.
Prova/explicação do lema, passo a passo e sem pulo:
  1. Seja S\subset V tal que \operatorname{span}(S)=V.
  2. Se S já é linearmente independente, então é uma base e estamos feitos.
  3. Se S for linearmente dependente, existe um vetor v\in S que é combinação linear dos outros vetores de S. Nesse caso, remover v não diminui o span: \operatorname{span}(S\setminus\{v\})=\operatorname{span}(S)=V, porque tudo que se conseguia com v já se consegue com os outros.
  4. Repetindo esse processo (remover vetores dependentes) obtemos um subconjunto B\subseteq S que ainda gera V e que é linearmente independente. Por construção, B é base de V.
  5. Como B é base e \operatorname{dim}(V)=n, o número de vetores de B é exatamente n.
Conclusão desta etapa: qualquer conjunto gerador S satisfaz |S|\ge |B|=n. Ou seja, todo conjunto que gera V tem pelo menos n vetores.

Passo 4

Aplicando o que acabamos de provar ao enunciado: a afirmação "existe um conjunto de n-1 vetores que geram V" afirmaria a existência de um conjunto gerador com menos de n vetores. Mas pelo argumento anterior isso é impossível, pois todo conjunto gerador tem tamanho pelo menos n. Logo a afirmação é falsa (para espaços de dimensão positiva).

Passo 5

Contraexemplo concreto e intuitivo (para fixar e usar na prova): tome V=\mathbb{R}^2, então \operatorname{dim}(V)=2. A afirmação pede a existência de um conjunto com 2-1=1 vetor que gere \mathbb{R}^2. Qualquer vetor v\in\mathbb{R}^2 produz \operatorname{span}(\{v\})=\{t v : t\in\mathbb{R}\}, que é uma reta passando pela origem — claramente diferente de toda a \mathbb{R}^2. Portanto não existe conjunto de um único vetor que gere \mathbb{R}^2. Assim a afirmação é falsa e aqui está o contraexemplo.
Observação final sobre o caso \,n=0: se \operatorname{dim}(V)=0 temos o espaço nulo \{0\}. A questão com n-1=-1 não faz sentido contar “-1 vetores”, então o caso trivial não altera a conclusão prática: para dimensões positivas a afirmação é falsa.

Resposta

Falso.

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