Determine o número mínimo de iterações necessárias no método da bissecção para garantir um erro inferior a
no intervalo
.
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado:
- Pede: determinar o número mínimo de iterações no método da bissecção necessário para garantir um erro absoluto inferior a
no intervalo . - Dados: intervalo inicial
(logo ) e tolerância de erro . - Resultado esperado: um número inteiro
(número de iterações) tal que, após iterações, a aproximação fornecida pelo método da bissecção tem erro menor que .
Passo 2
Entendendo o limite de erro do método da bissecção (a ideia e a fórmula):
- Ideia rápida e intuitiva: a cada iteração do método da bissecção divide-se o intervalo atual ao meio; portanto o comprimento do intervalo residual diminui pela metade a cada iteração.
- Definições das variáveis que usaremos:
-
e são as extremidades do intervalo inicial; -
é o número de iterações efetuadas; -
é a tolerância máxima permitida para o erro absoluto.
-
- Propriedade importante (fórmula): após
iterações o comprimento do intervalo em que a raiz está é
- Se se usa o ponto médio do intervalo final como aproximação da raiz, o erro absoluto (distância entre a aproximação e a raiz verdadeira) é no máximo metade desse comprimento de intervalo. Portanto o erro máximo após
iterações satisfaz
- Explicação simples do fator
: cada iteração corta o comprimento por 2, então o comprimento é ; a meia-intervalo (distância do ponto médio à raiz) é metade disso, daí o .
Passo 3
Aplicando a fórmula aos dados do problema:
- Queremos garantir
, ou seja
- Substituindo
e :
- Reorganizando a desigualdade:
Passo 4
Resolver a desigualdade usando logaritmos (para obter
):
- Tomando logaritmo na base 2:
- Separando fatores e usando
(valor aproximado ):
- Calculando numericamente:
- Então
Passo 5
Interpretação e verificação por potências de 2 (para confirmar o menor inteiro
):
- Procuramos o menor inteiro
que satisfaça , isto é, o menor inteiro estritamente maior que esse valor. - Conferindo potências de 2 próximas:
-
(isto corresponde a , ou ): aqui , não basta. -
(isto corresponde a , ou ): aqui , satisfaz a desigualdade.
-
- Portanto o menor inteiro
que atende à condição é o inteiro imediatamente superior a .
Resposta
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