Determine o número mínimo de iterações necessárias no método da bissecção para garantir um erro inferior a 10^{-5} no intervalo [0,2].

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado:
  • Pede: determinar o número mínimo de iterações no método da bissecção necessário para garantir um erro absoluto inferior a 10^{-5} no intervalo [0,2].
  • Dados: intervalo inicial [a,b]=[0,2] (logo b-a=2) e tolerância de erro \varepsilon=10^{-5}.
  • Resultado esperado: um número inteiro n (número de iterações) tal que, após n iterações, a aproximação fornecida pelo método da bissecção tem erro menor que \varepsilon.

Passo 2

Entendendo o limite de erro do método da bissecção (a ideia e a fórmula):
  • Ideia rápida e intuitiva: a cada iteração do método da bissecção divide-se o intervalo atual ao meio; portanto o comprimento do intervalo residual diminui pela metade a cada iteração.
  • Definições das variáveis que usaremos:
    • a e b são as extremidades do intervalo inicial;
    • n é o número de iterações efetuadas;
    • \varepsilon é a tolerância máxima permitida para o erro absoluto.
  • Propriedade importante (fórmula): após n iterações o comprimento do intervalo em que a raiz está é
\frac{b-a}{2^{n}}.
  • Se se usa o ponto médio do intervalo final como aproximação da raiz, o erro absoluto (distância entre a aproximação e a raiz verdadeira) é no máximo metade desse comprimento de intervalo. Portanto o erro máximo após n iterações satisfaz
\text{erro}_{\max} \le \frac{b-a}{2^{n+1}}.
  • Explicação simples do fator 2^{n+1}: cada iteração corta o comprimento por 2, então o comprimento é (b-a)/2^n; a meia-intervalo (distância do ponto médio à raiz) é metade disso, daí o 2^{n+1}.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dados do problema:
  • Queremos garantir \text{erro}_{\max} < \varepsilon, ou seja
\frac{b-a}{2^{n+1}} < \varepsilon.
  • Substituindo b-a=2 e \varepsilon=10^{-5}:
\frac{2}{2^{n+1}} < 10^{-5}.
  • Reorganizando a desigualdade:
2^{n+1} > \frac{2}{10^{-5}} = 2\cdot 10^{5}.

Passo 4

Resolver a desigualdade usando logaritmos (para obter n):
  • Tomando logaritmo na base 2:
n+1 > \log_{2}\!\bigl(2\cdot 10^{5}\bigr).
  • Separando fatores e usando \log_{2}(10) (valor aproximado \log_{2}(10)\approx 3{,}321928094887362):
\log_{2}\!\bigl(2\cdot 10^{5}\bigr)=\log_{2}(2)+\log_{2}\!\bigl(10^{5}\bigr) =1+5\log_{2}(10).
  • Calculando numericamente:
1+5\log_{2}(10)\approx 1 + 5\cdot 3{,}321928094887362 \approx 17{,}60964047443681.
  • Então
n+1 > 17{,}60964047443681 \quad\Rightarrow\quad n > 16{,}60964047443681.

Passo 5

Interpretação e verificação por potências de 2 (para confirmar o menor inteiro n):
  • Procuramos o menor inteiro n que satisfaça n>16{,}6096\ldots, isto é, o menor inteiro estritamente maior que esse valor.
  • Conferindo potências de 2 próximas:
    • 2^{17}=131072 (isto corresponde a n+1=17, ou n=16): aqui 2^{n+1}=2^{17}=131072<200000, não basta.
    • 2^{18}=262144 (isto corresponde a n+1=18, ou n=17): aqui 2^{n+1}=262144>200000, satisfaz a desigualdade.
  • Portanto o menor inteiro n que atende à condição é o inteiro imediatamente superior a 16{,}6096\ldots.

Resposta

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