(a) Por cofatores mostre que En=En-1-En-2.
(b) Começando de E1=1 e E2=0 encontre E3, E4, ldots, E8.
(c) Observando como esses números eventualmente se repetem, encontre E100.
Passo 1
O enunciado define En como o determinante da matriz tridiagonal de ordem n cujas diagonais (principal, superior e inferior) têm todos os elementos iguais a 1. Pede-se:
a) mostrar que
En=En-1-En-2,
b) a partir de E1=1 e E2=0 calcular E3,dots,E8,
c) usar o padrão observado para obter E100.
Para isso vamos usar expansão por cofatores e recorrência de determinantes, depois identificar periodicidade.
Passo 2
Expandindo En por cofatores ao longo da primeira linha, só há dois termos não nulos: o da posição (1,1) que é 1 e o da posição (1,2) que é também 1. Com sinais de cofiator temos
En =1cdot detl(matriz de ordem n-1r) ;+;(-1)^1+2cdot 1cdot detl(matriz de ordem n-2r)
Isto é,
En=En-1-En-2
Passo 3
Usando a recorrência ,En=En-1-En-2 com E1=1 e E2=0, segue:
E3=0-1=-1, E4=-1-0=-1, E5=-1-(-1)=0,
E6=0-(-1)=1, E7=1-0=1, E8=1-1=0
Passo 4
Observamos a sequência inicial:
(E1,E2,E3,E4,E5,E6) =(1,0,-1,-1,0,1)
Como a mesma sequência reaparece a partir de E7, concluímos que é periódica de período 6, isto é,