(5,0 Pontos) Uma placa de vidro de
é usada para observar a radiação de um forno. A transmissividade do vidro é 0,5 de 0,2 a
. A emissividade pode ser considerada 0,3 até
e 0,9 acima desse valor. A transmissividade do vidro é zero, exceto na faixa de 0,2 a
. Supondo que o forno seja um corpo negro a
, calcule a energia absorvida no vidro e a energia transmițida.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Área da placa:
. - Transmissividade do vidro:
na faixa de a ; fora dessa faixa. - Emissividade do vidro:
para e para . - O forno é corpo negro a
. - O que pedem: a energia absorvida no vidro e a energia transmitida (interpreto como potência absorvida e potência transmitida pela placa, ou seja energia por segundo, em
).
Observações numéricas que já ajustei para usar nas contas:
- Converter a temperatura:
(vou arredondar para nas contas). - Converter área:
.
Passo 2
Estratégia física e fórmulas necessárias (aula curta e prática).
- Um corpo negro à temperatura
emite uma potência por unidade de área dada pela lei de Stefan–Boltzmann:
onde
.
-
Porém o vidro tem propriedades que dependem do comprimento de onda. Logo precisamos dividir a emissão do corpo negro em duas faixas essenciais: (i)
e (ii) . Para isso usamos a distribuição espectral do corpo negro; a fração da potência total emitida abaixo de um comprimento de onda depende apenas do produto . -
Uma forma prática de obter essa fração é através da fórmula adimensional: se
então a fração da potência total emitida com comprimento de onda menor que
é
(Comentário didático: a integral aparece da transformação de variáveis na função de Planck; o fator
normaliza para que
.)
- Depois de achar as frações espectrais, usamos que, por lei de Kirchhoff (em regime de equilíbrio local), a emitância espectral iguala a absorptividade espectral. Assim a energia absorvida pela placa é a soma, sobre as faixas, da potência incidente naquela faixa multiplicada pela absorptividade
na faixa. A energia transmitida na faixa – é a energia incidente nessa faixa vezes . (A faixa tem transmissividade zero, mas a emissão do corpo negro ali é desprezível a .)
Passo 3
Calcular a fração da potência do corpo negro que sai com
.
- Calculo do parâmetro adimensional para
:
- Avalio numericamente a integral
Para ser didático e reproduzível, usei a regra de Simpson com
subintervalos no intervalo
. Os valores do integrando em pontos distribuídos deram (resumo)
(detalhe: tabelinha de pontos e soma por Simpson; a integral aproximada é essa, precisão suficiente para o objetivo da prova).
- O fator normalizador é
. Logo
- Assim a fração da potência com
é
E a fração com
é
.
(Comentário prático: a maior parte da energia do corpo negro a
está abaixo de
, cerca de
.)
Passo 4
Determinar quais frações do espectro são absorvidas e quais são transmitidas pela placa.
-
Pela hipótese do enunciado:
- Para
: , . (Logo a refletância espectral nessa faixa é .) - Para
: , . (Logo .)
- Para
-
A fração do fluxo total que é transmitida é só a fração espectral na faixa
– vezes . A emissão para é desprezível a esta , então podemos tomar a fração na faixa – praticamente igual a . Assim a fração transmitida do total é
- A fração absorvida do total é soma das contribuições das duas faixas:
- Conferência rápida:
. O restante é refletido (não pedido, apenas para checar consistência).
Passo 5
Calcular a potência total incidente na placa (potência por unidade de área vezes área).
- Calcular
. Com :
- Potência incidente sobre a placa:
Passo 6
Calcular a potência absorvida e a potência transmitida usando as frações já obtidas.
- Potência absorvida:
- Potência transmitida:
(Arredondei cada valor a 4 algarismos significativos; se desejar 2 ou 3 algarismos, dá para arredondar para
e
.)