(5,0 Pontos) Uma placa de vidro de 30 c m^{2} é usada para observar a radiação de um forno. A transmissividade do vidro é 0,5 de 0,2 a 3,5 \mu \mathrm{~m}. A emissividade pode ser considerada 0,3 até 3,5 \mu \mathrm{~m} e 0,9 acima desse valor. A transmissividade do vidro é zero, exceto na faixa de 0,2 a 3,5 \mu \mathrm{~m}. Supondo que o forno seja um corpo negro a 2000^{\circ} \mathrm{C}, calcule a energia absorvida no vidro e a energia transmițida.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Área da placa: A=30\\ \text{cm}^{2}.
  • Transmissividade do vidro: \tau=0{,}5 na faixa de 0{,}2\\ \mu\text{m} a 3{,}5\\ \mu\text{m}; \tau=0 fora dessa faixa.
  • Emissividade do vidro: \varepsilon=0{,}3 para \lambda\le 3{,}5\\ \mu\text{m} e \varepsilon=0{,}9 para \lambda>3{,}5\\ \mu\text{m}.
  • O forno é corpo negro a 2000^\circ\text{C}.
  • O que pedem: a energia absorvida no vidro e a energia transmitida (interpreto como potência absorvida e potência transmitida pela placa, ou seja energia por segundo, em \text{W}).
Observações numéricas que já ajustei para usar nas contas:
  • Converter a temperatura: T=2000^\circ\text{C}=2000+273{,}15=2273{,}15\\ \text{K} (vou arredondar para 2273\\ \text{K} nas contas).
  • Converter área: A=30\\ \text{cm}^2=30\times10^{-4}\\ \text{m}^2=3{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}^2.

Passo 2

Estratégia física e fórmulas necessárias (aula curta e prática).
  • Um corpo negro à temperatura T emite uma potência por unidade de área dada pela lei de Stefan–Boltzmann:
M_b=\sigma T^{4},
onde \sigma=5{,}670374\times10^{-8}\\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\,\text{K}^{-4}.
  • Porém o vidro tem propriedades que dependem do comprimento de onda. Logo precisamos dividir a emissão do corpo negro em duas faixas essenciais: (i) \lambda\le 3{,}5\\ \mu\text{m} e (ii) \lambda>3{,}5\\ \mu\text{m}. Para isso usamos a distribuição espectral do corpo negro; a fração da potência total emitida abaixo de um comprimento de onda \lambda depende apenas do produto \lambda T.
  • Uma forma prática de obter essa fração é através da fórmula adimensional: se
x=\frac{c_{2}}{\lambda T},\qquad c_{2}=\frac{h c}{k_{B}}\approx0{,}014388\\ \text{m}\cdot\text{K},
então a fração da potência total emitida com comprimento de onda menor que \lambda é
F(\lambda)=1-\frac{15}{\pi^{4}}\int_{0}^{x}\frac{z^{3}}{e^{z}-1}\,dz.
(Comentário didático: a integral aparece da transformação de variáveis na função de Planck; o fator 15/\pi^{4} normaliza para que F(\infty)=1.)
  • Depois de achar as frações espectrais, usamos que, por lei de Kirchhoff (em regime de equilíbrio local), a emitância espectral iguala a absorptividade espectral. Assim a energia absorvida pela placa é a soma, sobre as faixas, da potência incidente naquela faixa multiplicada pela absorptividade \alpha=\varepsilon na faixa. A energia transmitida na faixa 0{,}2 3{,}5\\ \mu\text{m} é a energia incidente nessa faixa vezes \tau=0{,}5. (A faixa \lambda<0{,}2\\ \mu\text{m} tem transmissividade zero, mas a emissão do corpo negro ali é desprezível a 2273\\ \text{K}.)

Passo 3

Calcular a fração da potência do corpo negro que sai com \lambda\le 3{,}5\\ \mu\text{m}.
  • Calculo do parâmetro adimensional para \lambda_{0}=3{,}5\\ \mu\text{m}:
x_{0}=\frac{c_{2}}{\lambda_{0} T} =\frac{0{,}014388}{(3{,}5\times10^{-6})(2273)}\approx1{,}809.
  • Avalio numericamente a integral
J=\int_{0}^{x_{0}}\frac{z^{3}}{e^{z}-1}\,dz.
Para ser didático e reproduzível, usei a regra de Simpson com 10 subintervalos no intervalo [0,1{,}809]. Os valores do integrando em pontos distribuídos deram (resumo) J\approx0{,}946 (detalhe: tabelinha de pontos e soma por Simpson; a integral aproximada é essa, precisão suficiente para o objetivo da prova).
  • O fator normalizador é 15/\pi^{4}\approx0{,}1540. Logo
\frac{15}{\pi^{4}}J \approx 0{,}1540\times0{,}946\approx0{,}1457.
  • Assim a fração da potência com \lambda\le 3{,}5\\ \mu\text{m} é
F(3{,}5\\ \mu\text{m})=1-0{,}1457\approx0{,}8543.
E a fração com \lambda>3{,}5\\ \mu\text{m} é 1-0{,}8543=0{,}1457.
(Comentário prático: a maior parte da energia do corpo negro a 2273\\ \text{K} está abaixo de 3{,}5\\ \mu\text{m}, cerca de 85{,}4\%.)

Passo 4

Determinar quais frações do espectro são absorvidas e quais são transmitidas pela placa.
  • Pela hipótese do enunciado:
    • Para \lambda\le 3{,}5\\ \mu\text{m}: \tau=0{,}5, \varepsilon=\alpha=0{,}3. (Logo a refletância espectral nessa faixa é \rho=1-\tau-\alpha=1-0{,}5-0{,}3=0{,}2.)
    • Para \lambda>3{,}5\\ \mu\text{m}: \tau=0, \varepsilon=\alpha=0{,}9. (Logo \rho=0{,}1.)
  • A fração do fluxo total que é transmitida é só a fração espectral na faixa 0{,}2 3{,}5\\ \mu\text{m} vezes \tau. A emissão para \lambda<0{,}2\\ \mu\text{m} é desprezível a esta T, então podemos tomar a fração na faixa 0{,}2 3{,}5\\ \mu\text{m} praticamente igual a F(3{,}5\\ \mu\text{m}). Assim a fração transmitida do total é
f_{\text{trans}}=0{,}5\times0{,}8543=0{,}42715.
  • A fração absorvida do total é soma das contribuições das duas faixas:
f_{\text{abs}}=0{,}3\times0{,}8543 \;+\;0{,}9\times0{,}1457 =0{,}25629+0{,}13113=0{,}38742.
  • Conferência rápida: f_{\text{trans}}+f_{\text{abs}}=0{,}42715+0{,}38742=0{,}81457. O restante 1-0{,}81457=0{,}18543 é refletido (não pedido, apenas para checar consistência).

Passo 5

Calcular a potência total incidente na placa (potência por unidade de área vezes área).
  • Calcular M_b=\sigma T^{4}. Com T=2273\\ \text{K}:
T^{4}\approx(2273)^{4}\approx2{,}6701\times10^{13}\\ \text{K}^{4}.
M_b=\sigma T^{4}\approx5{,}670374\times10^{-8}\times2{,}6701\times10^{13} \approx1{,}5155\times10^{6}\\ \text{W}\,\text{m}^{-2}.
  • Potência incidente sobre a placa:
P_{\text{inc}}=M_b\;A =1{,}5155\times10^{6}\times3{,}0\times10^{-3} \approx4{,}546{,}5\\ \text{W}.

Passo 6

Calcular a potência absorvida e a potência transmitida usando as frações já obtidas.
  • Potência absorvida:
P_{\text{abs}}=P_{\text{inc}}\;f_{\text{abs}} \approx4{,}546{,}5\times0{,}38742 \approx1{,}761{,}4\\ \text{W}.
  • Potência transmitida:
P_{\text{trans}}=P_{\text{inc}}\;f_{\text{trans}} \approx4{,}546{,}5\times0{,}42715 \approx1{,}942{,}0\\ \text{W}.
(Arredondei cada valor a 4 algarismos significativos; se desejar 2 ou 3 algarismos, dá para arredondar para 1{,}76\times10^{3}\\ \text{W} e 1{,}94\times10^{3}\\ \text{W}.)

Resposta

P_{\text{abs}} \approx 1{,}761{,}4\\ \text{W}
P_{\text{trans}} \approx 1{,}942{,}0\\ \text{W}

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