Explique a diferença da demonstração da existência de um limite de uma função de duas variáveis para a de uma variável.
Passo 1
O problema pede para compararmos como se prova a existência de
numa variável e a existência de
em duas variáveis. Vamos usar as definições ε-δ apropriadas em cada caso e ver as principais diferenças na estratégia.
numa variável e a existência de
em duas variáveis. Vamos usar as definições ε-δ apropriadas em cada caso e ver as principais diferenças na estratégia.
Passo 2
Em uma variável, dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
então
Na prática basta checar os dois limites laterais
e
e usar desigualdades unidimensionais para encontrar um
que funcione.
Passo 3
Em duas variáveis, definimos
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
então
Aqui não há “esquerda” ou “direita”: há infinitas direções de aproximação ao ponto
.
Passo 4
A grande diferença está em lidar com todas as direções simultaneamente. Em basta controlar
. Em usamos geralmente coordenadas polares
de modo que
Para provar existência de limite procuramos uma desigualdade
onde
quando
, garantindo que, ao escolher
com
, temos
independentemente de
.
Passo 5
Se ao passar a polares o termo residual ainda dependesse de
de forma não controlável (por ex.
), não conseguiríamos fazer
só com
e o limite não existiria. Por outro lado, se conseguirmos um majorante em
só, o limite existe.
Resposta
Em função de uma variável basta usar a definição ε-δ com
e checar os dois lados de aproximação. Em duas variáveis a definição exige controlar a distância euclidiana
e provar que
fica abaixo de ε para todo ponto dentro do disco de raio δ, o que implica dominar todas as direções de chegada — tipicamente usando mudança para coordenadas polares e uma desigualdade que dependa apenas do raio
.