Explique a diferença da demonstração da existência de um limite de uma função de duas variáveis para a de uma variável.

Passo 1

O problema pede para compararmos como se prova a existência de
limxto af(x)=L
numa variável e a existência de
lim(x,y)to(a,b)f(x,y)=L
em duas variáveis. Vamos usar as definições ε-δ apropriadas em cada caso e ver as principais diferenças na estratégia.

Passo 2

Em uma variável, dizemos que
limxto af(x)=L
se, para todo epsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que
0<|x-a|<de<a,
então
|f(x)-L|<epsilon
Na prática basta checar os dois limites laterais xto a^- e xto a^+ e usar desigualdades unidimensionais para encontrar um de<a que funcione.

Passo 3

Em duas variáveis, definimos
lim(x,y)to(a,b)f(x,y)=L
se, para todo epsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que
0<raiz(x-a)^2+(y-b)^2<de<a,
então
|f(x,y)-L|<epsilon
Aqui não há “esquerda” ou “direita”: há infinitas direções de aproximação ao ponto (a,b).

Passo 4

A grande diferença está em lidar com todas as direções simultaneamente. Em basta controlar . Em usamos geralmente coordenadas polares
de modo que
Para provar existência de limite procuramos uma desigualdade
onde quando , garantindo que, ao escolher com , temos independentemente de .

Passo 5

Se ao passar a polares o termo residual ainda dependesse de theta de forma não controlável (por ex. |costheta,sintheta|), não conseguiríamos fazer g(r)to0 só com rto0 e o limite não existiria. Por outro lado, se conseguirmos um majorante em r só, o limite existe.

Resposta

Em função de uma variável basta usar a definição ε-δ com |x-a|<de<a e checar os dois lados de aproximação. Em duas variáveis a definição exige controlar a distância euclidiana raiz(x-a)^2+(y-b)^2 e provar que |f(x,y)-L| fica abaixo de ε para todo ponto dentro do disco de raio δ, o que implica dominar todas as direções de chegada — tipicamente usando mudança para coordenadas polares e uma desigualdade que dependa apenas do raio r.

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