1. Escreva o diferencial total de uma função de duas variáveis z=f(x, y)
  2. Descreva conceitualmente o que é o diferencial total

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Escrever o diferencial total de uma função de duas variáveis z = f(x,y).
  2. Descrever conceitualmente o que é esse diferencial total.
    O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e aproximação linear de funções de duas variáveis.

Passo 2

Para obter o diferencial total, consideramos pequenas variações dx e dy em x e y. Pela expansão de Taylor de primeira ordem em torno de (x,y) temos
De<a z approx partial fpartial x(x,y),De<a x + partial fpartial y(x,y),De<a y
Tomando o limite dessas pequenas variações definimos o diferencial total
dz = partial fpartial x(x,y),dx + partial fpartial y(x,y),dy

Passo 3

Conceitualmente, o diferencial total de f em (x,y) é a melhor aproximação linear do incremento de f quando x varia em dx e y em dy. Geometricamente, dz representa a variação ao longo do plano tangente ao gráfico de f nesse ponto.

Resposta

  1. dz = partial fpartial x(x,y),dx + partial fpartial y(x,y),dy
  2. O diferencial total é a aproximação linear do incremento de f em função das variações dx e dy, representando a variação no plano tangente ao gráfico de f.

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