(a) Explique a diferença entre um pêndulo simples e um pêndulo físico.
(b) Uma barra uniforme de comprimento L suspensa em uma das extremidades é colocada para oscilar. Calcule o período de seu movimento.

Passo 1

O exercício faz duas perguntas claras:
  1. (a) Pedem que eu explique a diferença entre um pêndulo simples e um pêndulo físico.
  2. (b) Pedem que eu calcule o período do movimento de uma barra uniforme de comprimento \,L suspensa em uma das extremidades e posta a oscilar.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo que eu vou precisar):
  • A barra é uniforme, tem comprimento \,L e massa \,m.
  • A barra está presa por uma das extremidades (pivô sem atrito ideal) e pode oscilar no plano vertical.
  • A aceleração da gravidade é \,g.
  • Vou assumir oscilações pequenas (ângulos pequenos) para poder linearizar \sin\theta quando necessário — isso é padrão em problemas de período aproximado e necessário para obter uma oscilação harmônica simples.

Passo 2

Entendendo intuitivamente a diferença (para responder a (a)) — aqui eu explico bem devagar, como se estivesse conversando:
  • Um pêndulo simples é o modelo ideal: um corpo com massa concentrada em um ponto (uma “partícula”), pendurado por um fio ou haste sem massa, que é suficientemente curto e rígido para não se esticar. As hipóteses-chave são: massa concentrada num ponto, fio (ou haste) sem massa, e movimento de pequena amplitude para a fórmula simples.
  • Um pêndulo físico é qualquer corpo rígido que oscila em torno de um ponto de suspensão; a massa não está concentrada num ponto, ela está distribuída pelo corpo. Assim, a inércia rotacional (momento de inércia) do corpo entra na equação do movimento e o braço de alavanca até o centro de massa importa.
Exemplo prático (para fixar): se eu amarro uma bola num fio e balanço, é praticamente um pêndulo simples. Se eu balanço uma régua presa numa extremidade, é um pêndulo físico — a régua tem extensão e seu momento de inércia afeta o período.

Passo 3

Vou montar a equação do movimento rotacional (ferramenta que usamos para pêndulos físicos):
  • Em rotação, a equação análoga a F=ma é I\,\ddot{\theta} = \sum \tau, onde:
    • I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (aqui: o pivô),
    • \theta(t) é o ângulo de deslocamento em função do tempo,
    • \ddot{\theta} é a aceleração angular,
    • \sum \tau é a soma das torques (momentos) em torno do pivô.
  • Para o corpo sob gravidade, o torque restaurador normalmente vem do peso agindo no centro de massa.
Vou definir as variáveis explicitamente:
  • m: massa total da barra.
  • L: comprimento da barra.
  • g: aceleração da gravidade.
  • \theta: ângulo de deslocamento medido a partir da posição vertical de equilíbrio (pequeno).
  • d: distância do pivô ao centro de massa. Para uma barra uniforme suspensa numa extremidade, d = L/2.

Passo 4

Calcular o torque devido à gravidade (passo essencial):
  • O peso m g age concentrado no centro de massa, que está a uma distância d = L/2 do pivô (esta informação vem da uniformidade da barra).
  • A torque (módulo) em relação ao pivô é \tau = m g d \sin\theta.
  • Como a força tende a restaurar \theta para zero, a torque é negativa na convenção do deslocamento: \tau = - m g \left(\dfrac{L}{2}\right) \sin\theta.
  • Observação sobre sinal: o sinal “-” indica que a torque aponta no sentido que reduz \theta, é restauradora.

Passo 5

Calcular o momento de inércia I da barra em relação ao pivô na extremidade (detalhado, sem pular passos):
  • Para uma barra uniforme de massa m e comprimento L, a densidade linear é \lambda = \dfrac{m}{L}.
  • Tomando um elemento de massa \,dm situado a uma distância x do pivô (com x variando de 0 a L), temos dm = \lambda\,dx.
  • O momento de inércia é definido por I = \int r^{2}\,dm. Aqui r=x, então I = \int_{0}^{L} x^{2}\,dm = \int_{0}^{L} x^{2}\,\lambda\,dx.
  • Calculo da integral: I = \lambda \int_{0}^{L} x^{2}\,dx = \lambda \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{L} = \lambda \frac{L^{3}}{3}.
  • Substituindo \lambda = \dfrac{m}{L}: I = \frac{m}{L}\cdot \frac{L^{3}}{3} = \frac{1}{3}\,m\,L^{2}.
  • Portanto, o momento de inércia da barra em relação à extremidade de suspensão é \,I=\dfrac{1}{3}mL^{2}.

Passo 6

Montar a equação de movimento e linearizar (usar aproximação de pequenas oscilações):
  • A equação rotacional é I\,\ddot{\theta} = - m g \left(\frac{L}{2}\right) \sin\theta.
  • Para pequenas oscilações usamos a aproximação de série de Taylor: \sin\theta \approx \theta quando \theta está em radianos e |\theta| é pequeno (por exemplo, menos que cerca de 0{,}1 rad ≈ 6^\circ a 10^\circ dá boa aproximação).
  • Substituindo \sin\theta\approx\theta e o valor de I, obtemos uma equação linear: I\,\ddot{\theta} + m g \left(\frac{L}{2}\right)\theta = 0.
  • Substituo I=\dfrac{1}{3}mL^{2}: \frac{1}{3}mL^{2}\,\ddot{\theta} + m g \left(\frac{L}{2}\right)\theta = 0.
  • Posso dividir por m (a massa cancela; ótimo — o período não depende de m): \frac{1}{3}L^{2}\,\ddot{\theta} + g\left(\frac{L}{2}\right)\theta = 0.
  • Reescrevendo como equação de oscilador harmônico: \ddot{\theta} + \underbrace{\left(\frac{3g}{2L}\right)}_{\omega^{2}}\theta = 0,onde identifiquei a frequência angular ao quadrado \omega^{2} = \frac{3g}{2L}.

Passo 7

Encontrar o período T a partir de \omega:
  • A relação entre período e frequência angular é T = \dfrac{2\pi}{\omega}.
  • Como \omega = \sqrt{\dfrac{3g}{2L}}, então T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\omega^{2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}.
  • Observações úteis para a prova (dicas rápidas que ajudam a reconhecer o resultado):
    • A massa m desapareceu do resultado — típico de problemas de pêndulo para pequenas oscilações.
    • Podemos interpretar que a barra opera como um pêndulo simples de comprimento efetivo L_{\text{eq}} = \dfrac{2L}{3}, porque o período de um pêndulo simples de comprimento L_{\text{eq}} é 2\pi\sqrt{L_{\text{eq}}/g} e isso bate com o resultado acima.

Passo 8

Pequeno resumo passo a passo mental para a hora da prova (como eu faria rápido e seguro):
  1. Identifique centro de massa e distância d até o pivô ( d=L/2).
  2. Calcule torque: \tau = -m g d \sin\theta.
  3. Calcule I (ou lembre a fórmula I=\tfrac{1}{3}mL^{2} para barra em extremidade).
  4. Monte I\ddot{\theta} = -m g d \sin\theta e use \sin\theta\approx\theta.
  5. Resolva para \omega^{2}= \dfrac{m g d}{I} e então T=2\pi\sqrt{1/\omega^{2}}.
  • Dica de confiança: se esquecer I, lembrar que para barra em relação ao centro é \tfrac{1}{12}mL^{2} e pelo teorema dos eixos paralelos I_{\text{extremidade}} = I_{\text{centro}} + m(L/2)^{2} = \tfrac{1}{12}mL^{2} + \tfrac{1}{4}mL^{2} = \tfrac{1}{3}mL^{2}.

Resposta

(a) Um pêndulo simples é o modelo ideal com massa concentrada num ponto e fio/haste sem massa; um pêndulo físico é um corpo rígido extenso cujas oscilações dependem do seu momento de inércia e da posição do centro de massa em relação ao pivô.
(b) T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{3g}}

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