(a) Explique a diferença entre um pêndulo simples e um pêndulo físico.
(b) Uma barra uniforme de comprimento L suspensa em uma das extremidades é colocada para oscilar. Calcule o período de seu movimento.
Passo 1
O exercício faz duas perguntas claras:
(a) Pedem que eu explique a diferença entre um pêndulo simples e um pêndulo físico.
(b) Pedem que eu calcule o período do movimento de uma barra uniforme de comprimento \,L suspensa em uma das extremidades e posta a oscilar.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo que eu vou precisar):
A barra é uniforme, tem comprimento \,L e massa \,m.
A barra está presa por uma das extremidades (pivô sem atrito ideal) e pode oscilar no plano vertical.
A aceleração da gravidade é \,g.
Vou assumir oscilações pequenas (ângulos pequenos) para poder linearizar \sin\theta quando necessário — isso é padrão em problemas de período aproximado e necessário para obter uma oscilação harmônica simples.
Passo 2
Entendendo intuitivamente a diferença (para responder a (a)) — aqui eu explico bem devagar, como se estivesse conversando:
Um pêndulo simples é o modelo ideal: um corpo com massa concentrada em um ponto (uma “partícula”), pendurado por um fio ou haste sem massa, que é suficientemente curto e rígido para não se esticar. As hipóteses-chave são: massa concentrada num ponto, fio (ou haste) sem massa, e movimento de pequena amplitude para a fórmula simples.
Um pêndulo físico é qualquer corpo rígido que oscila em torno de um ponto de suspensão; a massa não está concentrada num ponto, ela está distribuída pelo corpo. Assim, a inércia rotacional (momento de inércia) do corpo entra na equação do movimento e o braço de alavanca até o centro de massa importa.
Exemplo prático (para fixar): se eu amarro uma bola num fio e balanço, é praticamente um pêndulo simples. Se eu balanço uma régua presa numa extremidade, é um pêndulo físico — a régua tem extensão e seu momento de inércia afeta o período.
Passo 3
Vou montar a equação do movimento rotacional (ferramenta que usamos para pêndulos físicos):
Em rotação, a equação análoga a F=ma é I\,\ddot{\theta} = \sum \tau, onde:
I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (aqui: o pivô),
\theta(t) é o ângulo de deslocamento em função do tempo,
\ddot{\theta} é a aceleração angular,
\sum \tau é a soma das torques (momentos) em torno do pivô.
Para o corpo sob gravidade, o torque restaurador normalmente vem do peso agindo no centro de massa.
Vou definir as variáveis explicitamente:
m: massa total da barra.
L: comprimento da barra.
g: aceleração da gravidade.
\theta: ângulo de deslocamento medido a partir da posição vertical de equilíbrio (pequeno).
d: distância do pivô ao centro de massa. Para uma barra uniforme suspensa numa extremidade, d = L/2.
Passo 4
Calcular o torque devido à gravidade (passo essencial):
O peso m g age concentrado no centro de massa, que está a uma distância d = L/2 do pivô (esta informação vem da uniformidade da barra).
A torque (módulo) em relação ao pivô é \tau = m g d \sin\theta.
Como a força tende a restaurar \theta para zero, a torque é negativa na convenção do deslocamento: \tau = - m g \left(\dfrac{L}{2}\right) \sin\theta.
Observação sobre sinal: o sinal “-” indica que a torque aponta no sentido que reduz \theta, é restauradora.
Passo 5
Calcular o momento de inércia I da barra em relação ao pivô na extremidade (detalhado, sem pular passos):
Para uma barra uniforme de massa m e comprimento L, a densidade linear é \lambda = \dfrac{m}{L}.
Tomando um elemento de massa \,dm situado a uma distância x do pivô (com x variando de 0 a L), temos dm = \lambda\,dx.
O momento de inércia é definido por I = \int r^{2}\,dm. Aqui r=x, entãoI = \int_{0}^{L} x^{2}\,dm = \int_{0}^{L} x^{2}\,\lambda\,dx.
Portanto, o momento de inércia da barra em relação à extremidade de suspensão é \,I=\dfrac{1}{3}mL^{2}.
Passo 6
Montar a equação de movimento e linearizar (usar aproximação de pequenas oscilações):
A equação rotacional éI\,\ddot{\theta} = - m g \left(\frac{L}{2}\right) \sin\theta.
Para pequenas oscilações usamos a aproximação de série de Taylor: \sin\theta \approx \theta quando \theta está em radianos e |\theta| é pequeno (por exemplo, menos que cerca de 0{,}1 rad ≈ 6^\circ a 10^\circ dá boa aproximação).
Substituindo \sin\theta\approx\theta e o valor de I, obtemos uma equação linear:I\,\ddot{\theta} + m g \left(\frac{L}{2}\right)\theta = 0.
Substituo I=\dfrac{1}{3}mL^{2}:\frac{1}{3}mL^{2}\,\ddot{\theta} + m g \left(\frac{L}{2}\right)\theta = 0.
Posso dividir por m (a massa cancela; ótimo — o período não depende de m):\frac{1}{3}L^{2}\,\ddot{\theta} + g\left(\frac{L}{2}\right)\theta = 0.
Reescrevendo como equação de oscilador harmônico:\ddot{\theta} + \underbrace{\left(\frac{3g}{2L}\right)}_{\omega^{2}}\theta = 0,onde identifiquei a frequência angular ao quadrado\omega^{2} = \frac{3g}{2L}.
Passo 7
Encontrar o período T a partir de \omega:
A relação entre período e frequência angular é T = \dfrac{2\pi}{\omega}.
Observações úteis para a prova (dicas rápidas que ajudam a reconhecer o resultado):
A massa m desapareceu do resultado — típico de problemas de pêndulo para pequenas oscilações.
Podemos interpretar que a barra opera como um pêndulo simples de comprimento efetivo L_{\text{eq}} = \dfrac{2L}{3}, porque o período de um pêndulo simples de comprimento L_{\text{eq}} é 2\pi\sqrt{L_{\text{eq}}/g} e isso bate com o resultado acima.
Passo 8
Pequeno resumo passo a passo mental para a hora da prova (como eu faria rápido e seguro):
Identifique centro de massa e distância d até o pivô (d=L/2).
Calcule torque: \tau = -m g d \sin\theta.
Calcule I (ou lembre a fórmula I=\tfrac{1}{3}mL^{2} para barra em extremidade).
Monte I\ddot{\theta} = -m g d \sin\theta e use \sin\theta\approx\theta.
Resolva para \omega^{2}= \dfrac{m g d}{I} e então T=2\pi\sqrt{1/\omega^{2}}.
Dica de confiança: se esquecer I, lembrar que para barra em relação ao centro é \tfrac{1}{12}mL^{2} e pelo teorema dos eixos paralelos I_{\text{extremidade}} = I_{\text{centro}} + m(L/2)^{2} = \tfrac{1}{12}mL^{2} + \tfrac{1}{4}mL^{2} = \tfrac{1}{3}mL^{2}.
Resposta
(a) Um pêndulo simples é o modelo ideal com massa concentrada num ponto e fio/haste sem massa; um pêndulo físico é um corpo rígido extenso cujas oscilações dependem do seu momento de inércia e da posição do centro de massa em relação ao pivô.
(b) T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{3g}}